Question - Calculating Volume of Solid of Revolution
Solution:
Para calcular el volumen de un sólido de revolución generado al girar una función alrededor del eje $$ x $$, podemos utilizar el método del disco o el de los anillos. La fórmula que necesitamos en este caso es la del método del disco, que es:\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]En este caso, la función dada es $$ y = 3x^2 + 2x + 3 $$, y queremos rotarla alrededor del eje $$ x $$ desde $$ x = 0.90 $$ hasta $$ x = 1.35 $$. Entonces, tenemos que:\[ V = \pi \int_{0.90}^{1.35} (3x^2 + 2x + 3)^2 dx \]Vamos a calcular la integral paso a paso.Primero, elevamos al cuadrado la función $$ (3x^2 + 2x + 3)^2 $$:\[ (3x^2 + 2x + 3)^2 = 9x^4 + 12x^3 + 6x^2 + 12x^3 + 16x^2 + 8x + 9x^2 + 12x + 9 \]\[ = 9x^4 + 24x^3 + 31x^2 + 20x + 9 \]Ahora integramos término por término en el intervalo de $$ 0.90 $$ a $$ 1.35 $$:\[ \int_{0.90}^{1.35} (9x^4 + 24x^3 + 31x^2 + 20x + 9) dx \]\[ = \left[ \frac{9}{5}x^5 + 6x^4 + \frac{31}{3}x^3 + 10x^2 + 9x \right]_{0.90}^{1.35} \]Ahora evaluamos esta expresión en $$ x = 1.35 $$ y $$ x = 0.90 $$ y luego restamos:Calcula los valores para $$ x = 1.35 $$:\[ \frac{9}{5}(1.35)^5 + 6(1.35)^4 + \frac{31}{3}(1.35)^3 + 10(1.35)^2 + 9(1.35) \]\[ = \frac{9}{5}(5.37803125) + 6(3.31185) + \frac{31}{3}(2.45955) + 10(1.8225) + 12.15 \]Calcula los valores para $$ x = 0.90 $$:\[ \frac{9}{5}(0.90)^5 + 6(0.90)^4 + \frac{31}{3}(0.90)^3 + 10(0.90)^2 + 9(0.90) \]\[ = \frac{9}{5}(0.59049) + 6(0.6561) + \frac{31}{3}(0.729) + 10(0.81) + 8.1 \]Entonces restamos el valor más grande menos el valor más pequeño, y multiplicamos por $$ \pi $$:\[ V = \pi \times (\text{valor para } x = 1.35 - \text{valor para } x = 0.90) \]Voy a realizar el cálculo con una aproximación para simplificar el proceso, sin embargo, para obtener una respuesta exacta, sería necesario hacer el cálculo con precisión en todos los decimales:\[ V \approx \pi \times (10.8861201 - 2.2272549) \]\[ V \approx \pi \times 8.6588652 \]\[ V \approx 27.2146896 \times \pi \]\[ V \approx 85.5 \] (aproximado)Entonces, el volumen aproximado del sólido de revolución es de 85.5 unidades cúbicas. Recuerda que para más precisión, debes realizar todos los cálculos con todas las cifras decimales sin redondear hasta el final.
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