Question - Calculating Confidence Interval and Sample Size Determination
Solution:
Para resolver la pregunta del ejercicio, primero vamos a calcular el intervalo de confianza para la proporción de la población votante que favorece la propuesta de anexión. Para la primera parte del ejercicio:Tenemos que n = 200 votantes, de los cuales 114 están a favor de la propuesta. La proporción muestral (p̂) es 114/200 = 0.57. Para calcular el intervalo de confianza al 94.5%, necesitamos la distribución estándar normal para el valor z correspondiente al nivel de confianza del 94.5%, que en este caso es aproximadamente $$ z = 1.96 $$ porque el nivel de confianza tiende a ser del 95% para este valor (94.5% es muy cercano a 95%).Primero calculamos el error estándar (SE) para la proporción:$$ SE = \sqrt{ \frac{p̂(1 - p̂)}{n} } = \sqrt{ \frac{0.57 \times (1 - 0.57)}{200} } = \sqrt{ \frac{0.57 \times 0.43}{200} } = \sqrt{ \frac{0.2451}{200} } = \sqrt{ 0.0012255 } ≈ 0.035 $$Ahora establecemos el intervalo de confianza:$$ p̂ \pm z \times SE = 0.57 \pm 1.96 \times 0.035 $$Calculamos los límites del intervalo de confianza:Límite inferior: $$ 0.57 - (1.96 \times 0.035) ≈ 0.57 - 0.0686 ≈ 0.5014 $$ (o 50.14%)Límite superior: $$ 0.57 + (1.96 \times 0.035) ≈ 0.57 + 0.0686 ≈ 0.6386 $$ (o 63.86%)Por ende, el intervalo de confianza del 94.5% para la proporción de la población votante que favorece la propuesta es aproximadamente entre 50.14% y 63.86%.Para la segunda parte del ejercicio, vamos a calcular el tamaño de la muestra requerido para tener un error del 5.29% con probabilidad de 68% y confianza del 98.7%.En este caso, el valor z asociado a una confianza del 98.7% es aproximadamente 2.5 (más exactamente alrededor de 2.473 sino usamos tablas o calculadoras específicas para valores exactos).Para calcular el tamaño de la muestra (n), utilizamos la siguiente fórmula, reorganizando la fórmula del error estándar y despejando n:$$ n = \left(\frac{z \times SE}{E}\right)^2 $$Donde E es el error máximo deseado, que en este caso es 5.29% o 0.0529.Asumimos una proporción $$ p̂ $$ de 0.5, que es conservadora y proporciona el tamaño de muestra máximo para una estimación de proporción binomial desconocida:$$ n = \left(\frac{2.5 \times \sqrt{0.5 \times (1 - 0.5)}}{0.0529}\right)^2 = \left(\frac{2.5 \times 0.5}{0.0529}\right)^2 = \left(\frac{1.25}{0.0529}\right)^2 ≈ 558.2513 $$Por lo tanto, el tamaño de la muestra requerido es aproximadamente 559 (siempre redondeamos hacia arriba en el tamaño de la muestra porque no podemos tener una fracción de una observación).
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