Finding Coefficient of Term with x^8
Để giải câu hỏi trong hình, chúng ta cần tìm hệ số của số hạng chứa \( x^8 \) trong khai triển của \( (x^2 + \frac{2}{x})^n \), với \( n \) là số nguyên dương không cho trước.
Khai triển của biểu thức \( (x^2 + \frac{2}{x})^n \) theo công thức nhị thức Newton là:
\[
(x^2 + \frac{2}{x})^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} (x^2)^{n-k} \left(\frac{2}{x}\right)^k
\]
\[
= \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{2(n-k)} \cdot 2^k \cdot x^{-k}
\]
\[
= \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} 2^k x^{2n-3k}
\]
Vì chúng ta quan tâm đến số hạng chứa \( x^8 \), hãy đặt \( 2n - 3k = 8 \).
Giải phương trình này, chúng ta có:
\[
2n - 3k = 8
\]
\[
2n = 8 + 3k
\]
\[
n = \frac{8 + 3k}{2}
\]
Giá trị của \( n \) cần là một số nguyên dương, và nó cũng phải lớn hơn hoặc bằng \( k \). Nếu \( k \) là 0, thì \( n \) sẽ là 4, nhưng nếu \( k \) là 1, thì \( n \) sẽ không còn là số nguyên nữa. Vì vậy, \( k \) không thể nhỏ hơn 2. Chọn \( k = 2 \), ta được:
\[
n = \frac{8 + 3(2)}{2} = \frac{14}{2} = 7
\]
Vậy \( n = 7 \).
Bây giờ chúng ta biết \( n=7 \) và \( k=2 \), chúng ta có thể tính hệ số của số hạng:
\[
C_{n}^{k} 2^k = C_{7}^{2} 2^2 = \frac{7!}{2!(7 - 2)!} \cdot 4 = \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84
\]
Vậy hệ số của số hạng chứa \( x^8 \) trong khai triển là 84. Trong các phương án A, B, C, và D, không có phương án nào phù hợp với đáp án 84 cả, vậy có thể hình ảnh đã không hiển thị đủ các phương án hoặc có lỗi khi in đề. Tuy nhiên, trên cơ sở thông tin có sẵn, đáp án là 84.
