Calculating Probabilities with Replacement and Without Replacement
Claro, vamos a resolver paso a paso cada una de las probabilidades indicadas en la imagen:
a) La probabilidad de que las dos bolas sean rojas, con reposición.
Hay 4 bolas rojas de 24. Al ser con reposición, la probabilidad de sacar una bola roja en cada intento es la misma. Por lo tanto, la probabilidad de sacar una bola roja es \( \frac{4}{24} \) o \( \frac{1}{6} \).
La probabilidad de sacar una bola roja en el primer intento y luego otra vez en el segundo intento (ya que se reemplaza la primera bola antes de sacar la segunda) es:
\( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \).
b) La probabilidad de que las dos bolas sean azules, sin reposición.
En este caso, hay un total de 7 bolas azules y 24 bolas en total. La probabilidad de sacar una bola azul en la primera extracción es \( \frac{7}{24} \). Tras sacar una bola azul, solo quedan 6 bolas azules y 23 bolas en total. Por tanto, la probabilidad de sacar otra bola azul es \( \frac{6}{23} \).
Multiplicamos ambas probabilidades para obtener la probabilidad final de ambos eventos:
\( \frac{7}{24} \times \frac{6}{23} = \frac{42}{552} = \frac{7}{92} \).
c) La probabilidad de que la primera bola sea azul y la segunda verde, con reposición.
La probabilidad de sacar una bola azul es \( \frac{7}{24} \), y la de sacar una bola verde después de reponer la primera bola es \( \frac{8}{24} \) o \( \frac{1}{3} \), ya que la composición de la bolsa sigue siendo la misma.
La probabilidad conjunta es:
\( \frac{7}{24} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{72} \).
d) La probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda negra, sin reposición.
La probabilidad de sacar una bola roja primero es \( \frac{4}{24} \) o \( \frac{1}{6} \). Una vez que una bola roja ha sido sacada, nos quedan 23 bolas, de las cuales, según la información, \( 24 - (4 + 7 + 8) = 5 \) son negras. Entonces, la probabilidad de sacar una bola negra después de haber sacado una roja es \( \frac{5}{23} \).
Multiplicamos ambas probabilidades para obtener la probabilidad final:
\( \frac{1}{6} \times \frac{5}{23} = \frac{5}{138} \).
Estas son las probabilidades requeridas para cada uno de los escenarios dados.
