Example Question - wall construction
Here are examples of questions we've helped users solve.
Counting Dice for Wall Construction
Die Aufgabe fordert uns auf, die Anzahl der Würfel zu zählen, die zum Bau von Mauern verwendet wurden, und gibt uns die Beschreibungen von Milena und Kevin, wie die Anzahl der Würfel (n) in jeder Mauer berechnet werden kann. Milena: \(n = 2k+1\) Kevin: \(n = 3k+1\) Zuerst werden wir für beide Mauern (A und B) die Anzahl der Würfel berechnen, um herauszufinden, ob beide Beschreibungen richtig sein können. Beginnen wir mit Mauer A: Kevin sagt, dass es \(3k+1\) Würfel gibt. Das bedeutet, wenn man die Anzahl der Würfel durch 3 teilt und dann 1 subtrahiert, sollte das Ergebnis eine ganze Zahl sein, da k die Anzahl der Würfelschichten ist. Schauen wir, ob dies bei Mauer A funktioniert: - Es gibt insgesamt 7 Würfel in Mauer A. - Nach Kevins Formel: \( (7 - 1) / 3 = 6 / 3 = 2 \) - Da 2 eine ganze Zahl ist, könnte Kevins Beschreibung für Mauer A stimmen. Nun überprüfen wir Milenas Formel: - Milenas Formel sagt, dass es \(2k+1\) Würfel gibt. Das bedeutet, dass, wenn wir 1 Würfel abziehen und dann durch 2 teilen, das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss. - Nach Milenas Formel: \( (7 - 1) / 2 = 6 / 2 = 3 \) - Da 3 eine ganze Zahl ist, könnte auch Milenas Beschreibung für Mauer A stimmen. Jetzt berechnen wir für Mauer B: Kevin sagt, dass es \(3k+1\) Würfel gibt. Probieren wir es aus: - Es gibt insgesamt 10 Würfel in Mauer B. - Nach Kevins Formel: \( (10 - 1) / 3 = 9 / 3 = 3 \) - Da 3 eine ganze Zahl ist, könnte Kevins Beschreibung für Mauer B stimmen. Nun zu Milenas Formel: - Milenas Formel sagt, dass es \(2k+1\) Würfel gibt, was bedeutet, dass nach Abziehen von 1 Würfel und Teilen durch 2 das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss. - Nach Milenas Formel: \( (10 - 1) / 2 = 9 / 2 \) - Da 9 durch 2 nicht ohne Rest teilbar ist, kann Milenas Beschreibung für Mauer B nicht stimmen. Zusammenfassend: - Mauer A folgt sowohl Milenas als auch Kevins Formeln. - Mauer B folgt nur Kevins Formel. Anhand dieser Analyse können wir schlussfolgern, dass Kevins Formel (\(3k+1\)) auf beide Mauern zutrifft, während Milenas Formel (\(2k+1\)) nur auf Mauer A zutrifft. Daher ist Kevins Beschreibung die konsistente, die auf beide Mauern anwendbar ist.
Comparing Two Walls with Different Cube Formulas
Die Frage im Bild fragt nach der Anzahl der Würfel, die verwendet wurden, um zwei verschiedene Mauern zu bauen - Mauer A und Mauer B. Für jede Mauer gibt es eine Formel, die beschreibt, wie die Anzahl der Würfel mit der Anzahl der Säulen zusammenhängt. Mauer A folgt der Formel: \[ Würfel = 2 \times (Säulen - 1) \] Mauer B folgt der Formel: \[ Würfel = 3 \times (Säulen - 1) + 1 \] Teil (a) der Frage fragt, wer mehr Würfel benutzt hat. Um das zu beantworten, müssen wir zuerst die Anzahl der Säulen für jede Mauer zählen. Mauer A hat 5 Säulen und Mauer B hat ebenfalls 5 Säulen. Für Mauer A: \[ Würfel = 2 \times (5 - 1) = 2 \times 4 = 8 \] Für Mauer B: \[ Würfel = 3 \times (5 - 1) + 1 = 3 \times 4 + 1 = 12 + 1 = 13 \] Mauer B hat also mehr Würfel verwendet. Teil (b) fragt nach einer Erklärung, ob beide Formeln für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel vorhersagen. Um das zu erklären, können wir die Formeln generalisieren und feststellen, dass in beiden Fällen die Anzahl der Würfel davon abhängt, wie viele Säulen (minus 1) vorhanden sind. Mauer A benötigt für jede zusätzliche Säule 2 neue Würfel, weil jede neue Säule auf beiden Seiten einen neuen Würfel benötigt, aber der Würfel, an dem sie sich treffen, wird nicht doppelt gezählt. Mauer B, funktioniert ähnlich, hat jedoch an einem Ende einen zusätzlichen Würfel, deswegen das "+ 1" in der Formel. Da beide Formeln auf der Zahl der Säulen basieren und wie Säulen Würfel teilen (bei Mauer A) bzw. einen zusätzlichen Würfel hinzufügen (bei Mauer B), sollten sie für beliebig lange Mauern funktionieren.
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