Analyzing Formulas for Counting Dice in Wall Structures
Um die Frage zu lösen, betrachten wir zunächst, was Milena und Kevin gesagt haben.
Milena sagt: \( n = 2 \times (k + 1) \) - wobei \( n \) die Anzahl der Würfel und \( k \) die Anzahl der sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene ist.
Kevin sagt: \( n = 3 \times k + 1 \)
Wir können diese Formeln verwenden, um zu überprüfen, ob beide oder einer von ihnen immer die richtige Anzahl von Würfeln liefert.
A. Wer hat wie überlegt?
Wir betrachten die Struktur:
1. Für die Mauer A (mit einer sichtbaren Ebene von 3 Würfeln):
Milena würde rechnen: \( n = 2 \times (3 + 1) = 2 \times 4 = 8 \)
Kevin würde rechnen: \( n = 3 \times 3 + 1 = 9 + 1 = 10 \)
Wir können sehen, dass Milenas Formel für Mauer A nicht funktioniert, da tatsächlich 9 Würfel vorhanden sind. Kevins Formel funktioniert hier korrekt.
2. Für die Mauer B (mit einer sichtbaren Ebene von 4 Würfeln):
Milena würde rechnen: \( n = 2 \times (4 + 1) = 2 \times 5 = 10 \)
Kevin würde rechnen: \( n = 3 \times 4 + 1 = 12 + 1 = 13 \)
Auch hier können wir sehen, dass nur Kevins Formel die richtige Anzahl von Würfeln für Mauer B liefert, welche 13 sind.
B. Liefern beide Formeln für beliebige Mauern die richtige Anzahl Würfel?
Nein, nur Kevins Formel liefert für jede beliebige Mauer die richtige Anzahl an Würfeln. Das liegt daran, dass jede Mauer ein zusätzlicher Würfel unter jedem sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene und ein weiterer Würfel am Ende hinzugefügt wird. Deshalb multipliziert Kevins Formel die Anzahl der Würfel auf der obersten Ebene mit 3 und addiert dann 1, um diesen zusätzlichen Würfel am Ende zu berücksichtigen.
Um zu begründen, warum Kevins Formel für beliebige Mauern funktioniert, können wir feststellen, dass jede Mauer aus Dreiergruppen von Würfeln besteht, wobei jeder sichtbare Würfel auf der obersten Ebene zwei unsichtbare Würfel unter sich hat. Zu diesen Gruppen von drei kommt noch ein Würfel hinzu, der sich am Ende der Mauer befindet. Deshalb wird die Anzahl der sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene mit 3 multipliziert und dann um 1 erhöht.
