Solving Equations and Finding Minimum Value of Expression
Câu hỏi này có hai phần, (a) và (b):
a) Giải phương trình khi \( m = 0 \):
Phương trình ban đầu là \( 2x^2 - 2x - m = 0 \). Khi \( m = 0 \), phương trình trở thành \( 2x^2 - 2x = 0 \).
Để giải phương trình này, ta có thể nhóm hai số hạng và đặt nhân tử chung:
\( 2x(x - 1) = 0 \).
Phương trình này bằng 0 khi một trong các nhân tử bằng 0, do vậy ta sẽ có hai nghiệm của x:
\( x = 0 \) hoặc \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 1 khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂, sao cho biểu thức P = \( x_{1}^{3} + \frac{(x_{2}^{3})}{50} \) đạt giá trị nhỏ nhất:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta sẽ sử dụng quan hệ giữa các nghiệm và hệ số của phương trình:
\( x_1 + x_2 = \frac{2}{2} = 1 \) (theo định lý Viète cho nghiệm của phương trình bậc hai, \( x_1 + x_2 \) bằng hệ số của x chia cho hệ số của \( x^2 \)).
\( x_1 \cdot x_2 = \frac{-m}{2} \).
Ta có biểu thức P cần tìm giá trị nhỏ nhất:
\( P = x_{1}^{3} + \frac{x_{2}^{3}}{50} \).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, cho hai dãy số không âm (ở đây ta giả sử \( x_1 \) và \( x_2 \) không âm để bất đẳng thức áp dụng được) \( (x_{1}^{3}, \frac{x_{2}^{3}}{50}) \) và \( (1, 1) \) ta có:
\( (x_{1}^{3} + \frac{x_{2}^{3}}{50})(1 + 1) \geq (x_1 + \frac{x_2}{\sqrt[3]{50}})^2 \).
Để P có giá trị nhỏ nhất, vế trái và vế phải của bất đẳng thức phải bằng nhau, tức là:
\( x_1 = \frac{x_2}{\sqrt[3]{50}} \).
Nhưng từ định lý Viète, ta có \( x_1 + x_2 = 1 \), kết hợp với \( x_1 = \frac{x_2}{\sqrt[3]{50}} \), ta có thể giải hệ này để tìm ra \( x_1 \) và \( x_2 \), và từ đó sử dụng lại \( x_1 \cdot x_2 = \frac{-m}{2} \) để tìm m.
Tóm lại, hãy giải hệ phương trình sau để tìm m:
\( \left\{ \begin{array}{l}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 = \frac{x_2}{\sqrt[3]{50}}
\end{array} \right. \)
Khi giải hệ này, bạn sẽ tìm được giá trị \( x_1 \) và \( x_2 \) tương ứng, sau đó tìm m thông qua quan hệ \( x_1 \cdot x_2 = \frac{-m}{2} \). Đây là cách tiếp cận toán học với việc giả sử nghiệm không âm để bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể áp dụng. Trước khi giải, bạn phải đảm bảo điều kiện này hoặc tìm điều kiện phù hợp cho nghiệm, nếu không bất đẳng thức sẽ không đúng.
