Solution to Finding Value of m in Quadratic Equation Problem
Hình ảnh bạn cung cấp có chứa các bài toán yêu cầu tìm giá trị của m để các phương trình cho trước có nghiệm thỏa mãn các điều kiện được đưa ra. Tôi sẽ giải bài toán số 4 cho bạn.
Bài 4: Tìm m để phương trình \( x^2 - (2m-1)x + m^2 - m + 6 = 0 \) có 2 nghiệm thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 = 8 \).
Đầu tiên ta nhận thấy đây là một phương trình bậc hai với a = 1, b = -(2m-1), và c = m^2 - m + 6.
Theo định lý Vi-ét, ta có:
- Tổng các nghiệm \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2m-1 \).
- Tích các nghiệm \( x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 6 \).
Biểu thức \( x_1^2 + x_2^2 \) có thể được viết lại như sau:
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \).
Thay các giá trị từ định lý Vi-ét vào, ta có:
\( x_1^2 + x_2^2 = (2m-1)^2 - 2(m^2 - m + 6) \).
Đặt giá trị này bằng 8 (theo yêu cầu của đề bài), ta có:
\( (2m-1)^2 - 2(m^2 - m + 6) = 8 \).
Giải phương trình này để tìm giá trị của m, ta có:
\( 4m^2 - 4m + 1 - 2m^2 + 2m - 12 = 8 \),
\( 2m^2 - 4m - 19 = 0 \).
Giải phương trình bậc hai này để tìm m, ta sử dụng công thức nghiệm:
\( m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \),
với a = 2, b = -4, và c = -19, ta được:
\( m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 152}}{4} \),
\( m = \frac{4 \pm \sqrt{168}}{4} \),
\( m = \frac{4 \pm 2\sqrt{42}}{4} \),
\( m = 1 \pm \frac{\sqrt{42}}{2} \).
Vậy, các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 = 8 \) là \( m = 1 + \frac{\sqrt{42}}{2} \) hoặc \( m = 1 - \frac{\sqrt{42}}{2} \).
