Simplifying Trigonometric Expression
La imagen muestra una expresión matemática que parece ser una identidad trigonométrica, pero está incompleta o incorrecta tal como está. La expresión es:
\[ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} \]
Para resolver la expresión habría que aplicar la fórmula de adición para el seno, la cual es:
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \]
Si sustituimos esto en la expresión original, obtenemos:
\[ \frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} \]
Ahora, dividimos cada término en el numerador por el producto \(\cos(\alpha) \cos(\beta)\):
\[ = \frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} + \frac{\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} \]
Simplificamos los términos donde sea posible:
\[ = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \]
Finalmente, sabiendo que \(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\) es \(\tan(\alpha)\) y \(\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}\) es \(\tan(\beta)\), la expresión queda como:
\[ \tan(\alpha) + \tan(\beta) \]
Por lo tanto, la expresión original se puede expresar como la suma de las tangentes de los dos ángulos \(\alpha\) y \(\beta\). Sin embargo, cabe destacar que la imagen no incluyó la parte derecha de la igualdad, así que estoy suponiendo que deseabas conocer cómo simplificar el lado izquierdo de la expresión presentada.
