Example Question - third derivative

Partial Derivative Operations of Logarithmic Function

题目要求对函数 \( z = \ln(xy) \) 进行偏导运算。 首先，找到 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} \) 和 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} \)，然后计算它们的差值。 函数 \( z \) 关于 \( x \) 的一阶偏导数是： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x} \] 函数 \( z \) 关于 \( y \) 的一阶偏导数是： \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{1}{y} \] 接下来，计算它们的二阶偏导数和三阶偏导数。 对 \( \frac{\partial z}{\partial x} \) 关于 \( x \) 求二阶偏导数： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{x^2} \] 对 \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \) 关于 \( y \) 求三阶偏导数： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = 0 \] 对 \( \frac{\partial z}{\partial y} \) 关于 \( y \) 求二阶偏导数： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{1}{y^2} \] 对 \( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \) 关于 \( x \) 求三阶偏导数： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = 0 \] 由于 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} \) 和 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} \) 都等于 0，所以： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} - \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = 0 - 0 = 0 \] 因此，所求的差值是 0。