Example Question - subtraction techniques
Here are examples of questions we've helped users solve.
Comparison of Subtraction Techniques: Bundling and Expanding
Die Frage bezieht sich auf zwei Techniken bei der schriftlichen Subtraktion, nämlich das Entbündeln (manchmal auch "Borgen" genannt) und das Erweitern (auch "Ergänzen" genannt). Ich werde beide Techniken anhand eines Beispiels charakterisieren und Argumente dafür bzw. dagegen erläutern. a) Um das Entbündeln und das Erweitern zu charakterisieren, verwenden wir das Beispiel der Subtraktion 704 - 258. Entbündeln: Beim Entbündeln wird eine höhere Stelle "gebündelt" oder "geborgt", um eine Subtraktion an der nächsten niedrigeren Stelle durchführen zu können. Hier ist das schrittweise Vorgehen: 1. Wir beginnen mit der Subtraktion in der Spalte ganz rechts, der Einer. Weil 4 kleiner als 8 ist, können wir nicht subtrahieren, ohne "zu borgen". 2. Also borgen wir 10 von der nächsten Stelle links (den Zehnern) und fügen sie zu den Einern hinzu. Jetzt haben wir 14 - 8, was 6 ergibt. 3. Nach dem Borgen haben wir 0 Zehner an der mittleren Stelle (70 wurde zu 60), und wir müssen 5 von 0 subtrahieren. Wir müssen wieder borgen. 4. Wir nehmen 1 von den Hundertern (700 wird zu 600) und fügen den geborgten Hunderter zu den Zehnern hinzu, was zu 10 Zehnern führt. Jetzt können wir 10 - 5 rechnen, das Ergebnis ist 5. 5. Schließlich subtrahieren wir die Hunderter: 6 - 2, was zu 4 führt. Die Antwort ist 446. Erweitern: Beim Erweitern (Ergänzen) wird nicht geborgt, sondern es wird gerechnet, wie viel zu einer Zahl hinzugefügt werden muss, um eine andere zu erreichen. 1. Wie viel muss zu 8 addiert werden, um 4 zu erreichen? Da dies nicht möglich ist, sehen wir uns die Zehner an. 2. Wir "erweitern" die 8 um 10 (indem wir annehmen, dass wir 10 zu den Einern hinzufügen), was 18 ergibt. Wie viel muss zu 18 addiert werden, um 4 zu erreichen? 18 + 6 = 24, aber wir können nicht mehr als 10 hinzufügen, also ist dies falsch. Richtig ist, dass zu 8 muss 6 hinzugefügt werden, um 14 zu erreichen (4 und ein "Übertrag" von 1 zu den Zehnern). 3. Nun fügen wir 1 zu den Zehnern hinzu (wegen des Übertrags) und sehen uns die Zehner an: 5 + 1 + wie viel ergibt 0? Das ist 4, weil 5 + 1 + 4 = 10. 4. Jetzt sehen wir uns die Hunderter an: 2 + wie viel ergibt 7? Das ist 5, weil 2 + 5 = 7. Die Antwort ist ebenfalls 446. b) Argumente für das Entbündeln: - Es entspricht einem logischen Verfahren, das leicht zu visualisieren ist (man nimmt 'physisch' etwas von einem Bündel und fügt es einem anderen hinzu). - Es wird oft in der Schule gelehrt und ist eine gängige Methode, die viele Schüler verstehen. Argumente gegen das Entbündeln: - Es kann für manche Schüler verwirrend sein, zu verfolgen, was wo "geborgt" wurde. - Es kann zu Fehlern führen, wenn Schüler vergessen, dass sie geborgt haben oder bei welcher Stelle sie geborgt haben. Argumente für das Erweitern: - Es fördert das Verständnis für Zahlbeziehungen und das Rechnen in Einheiten. - Es kann intuitive mathematische Denkprozesse unterstützen. Argumente gegen das Erweitern: - Es kann schwieriger zu verstehen sein, da es im Gegensatz zum Entbündeln nicht direkt das "Wegnehmen" darstellt. - Weniger intuitive Zahlenräume (wie die Einer zu den Zehnern) können für verwirrende Überträge sorgen. Als Zusammenfassung: Beide Methoden führen zum richtigen Ergebnis, haben aber unterschiedliche Vorgehensweisen und können abhängig von den Vorlieben und dem Verständnisniveau der Schüler unterschiedlich gut geeignet sein.
Subtraction Techniques: Bundling and Extending
Berechnen Sie die Aufgabe 1537 - 891 schriftlich. Entscheiden Sie sich dabei für ein geeignetes Verfahren, wie Sie es im Unterricht nutzen würden. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Notieren Sie auch eine passende Sprechweise. Das Entbündeln und das Erweitern sind zwei mögliche Übertragungstechniken bei der schriftlichen Subtraktion. a) Charakterisieren Sie beide Techniken an einem geeigneten Beispiel. b) Erläutern Sie, welche Argumente für bzw. gegen das Entbündeln sprechen. Lösung: a) Beide Techniken werden verwendet, um eine schriftliche Subtraktion durchzuführen, wenn in einer Stelle des Minuenden eine kleinere Ziffer als die entsprechende Ziffer des Subtrahenden steht. Beim Entbündeln "borgen" wir uns eine Zehn von der nächst höheren Stelle des Minuenden. Wenn wir also 1537 - 891 rechnen, sehen wir, dass an der Zehnerstelle des Minuenden eine 3 steht, was weniger ist als die 9 beim Subtrahenden. Dann borgen wir uns eine Zehn von den Hundertern, so dass wir dort 4 anstelle von 5 haben, und addieren diese Zehn zu der 3 an der Zehnerstelle, um 13 - 9 zu rechnen. Erweitern funktioniert ähnlich, aber anstatt eine Zehn von der nächst höheren Stelle zu "borgen", fügen wir stattdessen zu jeder Stelle des Subtrahenden eine Zehn hinzu, um das Subtrahieren zu erleichtern. Dies würde die Zahlen im Kopf erhöhen, anstatt die Zahlen physisch im Schreibvorgang zu ändern. b) Argumente für das Entbündeln könnten sein, dass es eine direkte Methode darstellt, bei der die Schüler das Konzept der Stellenwerte und das "Borgen" verstehen und praktizieren. Ein Argument gegen das Entbündeln könnte sein, dass es möglicherweise für einige Schüler verwirrend ist, zu begreifen, warum man physisch Zahlen ändern kann, und es führt zu einer Manipulation des ursprünglichen Minuenden, was zu Verwirrung führen kann. Für die Operation selbst: 1537 - 891 _____ Wir fangen an, von rechts nach links zu subtrahieren. Bei den Einer stellen wir fest, dass 7 größer ist als 1, daher gibt es kein Problem bei der Subtraktion: 7 - 1 = 6. Bei den Zehnern stellen wir fest, dass 3 kleiner ist als 9, also müssen wir borgen. Wir verringern die Hunderter um Eins, d.h. aus 5 wird 4, und geben diesen Wert in Zehnerschritten zur 3 dazu, so dass wir 13 Zehner haben. Jetzt können wir 13 - 9 rechnen: 13 - 9 = 4. Die Hunderterstelle ist jetzt 4, nachdem wir bereits eine Zehn geborgt haben, und weil 4 größer ist als 8, müssen wir wieder borgen. Wir nehmen eine Einheit von den Tausendern und fügen sie zu den Hundertern. Also machen wir aus 5 Tausendern 4 Tausender und aus 4 Hundertern 14 Hunderter. Jetzt subtrahieren wir 14 - 8, was 6 ergibt. Schließlich haben wir bei den Tausendern keine Probleme, da 4 größer als 0 ist. Also bleibt 4, wie es ist. Die endgültige Antwort lautet: 1537 - 891 _____ 646 Also ist 1537 - 891 = 646.
Strategies for Subtraction Problems with Place Value Materials
Die Aufgabe bittet darum, für verschiedene Subtraktionsprobleme Rechenwege zu finden, diese mit Zehnersystemmaterial (wie beispielsweise Zehnerstangen und Einerwürfeln) darzustellen und die verwendete Strategie zu benennen. Zudem sollen die Möglichkeiten der Darstellung der Strategien mit Anschauungsmitteln verglichen werden. Ich werde nun verschiedene Rechenwege für die Subtraktionsprobleme darstellen und die jeweilige Strategie benennen. 1. \( 88 - 34 \) - Bündeln und Übertragen (Entbündelungsstrategie): Man stellt 88 als 8 Zehner und 8 Einer dar. Da man nicht 4 Einer von 8 Einern abziehen kann, ohne auch einen Zehner zu entbündeln, tauscht man einen Zehner gegen 10 Einer und hat dann 7 Zehner und 18 Einer. Nun kann man 4 Einer abziehen und hat 14 Einer übrig. Anschließend zieht man die 3 Zehner ab und hat 4 Zehner übrig. Ergebnis: 54. 2. \( 63 - 25 \) - Ergänzen: Man überlegt, wie viel Einer man zu 25 hinzufügen muss, um 63 zu erreichen. Da 25 plus 35 bereits 60 ergibt, muss man nur noch 3 Einer hinzufügen. Somit ist der Ergänzungswert 35+3=38. Das Ergebnis der Subtraktion ist 38. 3. \( 46 - 19 \) - Schrittweises Abziehen: Man zieht erst die 9 Einer von den 6 Einern ab, wofür man einen Zehner entbündelt, um 16 Einer zu erhalten. Nach Abzug der 9 Einer hat man 7 Einer. Dann zieht man noch den Zehner ab und erhält als Endergebnis 27. 4. \( 31 - 29 \) - Subtraktion auf der Zehnerstufe: Da beide Zahlen fast auf der gleichen Zehnerstufe sind, kann man leicht erkennen, dass nur 2 mehr abgezogen werden muss, um von 31 auf 29 zu kommen. Das Ergebnis ist also 2. 5. \( 66 - 33 \) - Halbieren: Da 33 die Hälfte von 66 ist, weiß man, dass das Ergebnis der Subtraktion die andere Hälfte sein muss, also ebenfalls 33. Diese Antworten zeigen unterschiedliche Strategien des subtraktiven Denkens, die je nach Kontext und persönlicher Vorliebe der lösenden Person angewendet werden können. Solche Strategien helfen dabei, mathematische Konzepte zu verstehen und zu verinnerlichen.
Flexible Number Decomposition for Subtraction
Die Aufgabe besteht darin, die Zahl 92 flexibel zu zerlegen, um die Rechnung 92-47 auszuführen. Ein Weg, um diese Rechnung zu vereinfachen, ist es, die Zahlen in Teile zu zerlegen, die leichter zu subtrahieren sind. Zum Beispiel: 1. Zerlege 92 in zwei Zahlen, die nahe an 47 liegen, um die Subtraktion zu vereinfachen. Zum Beispiel könnte man 92 als 50 und 42 betrachten. 2. Subtrahiere 47 von 50, das Ergebnis ist 3. 3. Addiere die verbleibenden 42 zu der Zahl 3. Die Rechnung ist dann: 50 - 47 = 3 und 3 + 42 = 45 Also, das Ergebnis von 92 - 47 ist 45. Ein anderer Weg wäre: 1. Man beachte, dass 92 vier weniger als 96 ist. 2. Man weiß, dass 96 - 46 = 50 ist, weil 96 und 46 zwei Zahlen sind, die leicht im Kopf zu rechnen sind. 3. Wenn man nun 1 von 50 abzieht (weil 47 eins mehr ist als 46), bekommt man 49. 4. Da man am Anfang vier zu wenig hatte, muss man diese noch abziehen: 49 - 4 = 45. Also wieder ist das Ergebnis von 92 - 47 gleich 45. Diese Methoden helfen, die mentale Rechenfähigkeit zu verbessern, indem man lernt, Zahlen zu zerlegen und wieder zusammenzusetzen, um auf einfache Weise zu rechnen.
Subtraction Strategies within 20
In der Aufgabenstellung wird gebeten, verschiedene Rechenwege für Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis 20 zu finden, am Zwanzigerfeld zu veranschaulichen und die Rechenwege mit den entsprechenden Zahlen zu beschreiben. Zusätzlich soll die verwendete Strategie benannt werden. Beginnen wir mit der Subtraktionsaufgabe 15 - 9: 1. Zählstrategie: Wir starten bei 15 und zählen rückwärts um 9 Schritte. 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6 - wir landen bei 6. Rechenweg: 15 - 1 = 14, 14 - 1 = 13, 13 - 1 = 12, 12 - 1 = 11, 11 - 1 = 10, 10 - 1 = 9, 9 - 1 = 8, 8 - 1 = 7, 7 - 1 = 6. Strategie: Rückwärtszählen. 2. Ergänzungsstrategie: Wir ergänzen von 9 aus bis zur nächsten Zehnerzahl (10) mit 1 und dann bis 15 mit 5 mehr. Rechenweg: 9 + 1 = 10, 10 + 5 = 15, also ist 15 - 9 = 6. Strategie: Ergänzen bis zum nächsten Zehner und weiter zur Zielzahl. Nun zur Aufgabe 12 - 7: 1. Zählstrategie: Hier zählen wir wieder rückwärts von 12 um 7 Schritte. 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5 - wir kommen auf 5. Rechenweg: 12 - 1 = 11, 11 - 1 = 10, 10 - 1 = 9, 9 - 1 = 8, 8 - 1 = 7, 7 - 1 = 6, 6 - 1 = 5. Strategie: Rückwärtszählen. 2. Ergänzungsstrategie: Wir ergänzen von 7 um 3 zur Zehnerzahl 10 und dann weitere 2 bis wir 12 erreichen. Rechenweg: 7 + 3 = 10, 10 + 2 = 12, somit ist das Ergebnis 12 - 7 = 5. Strategie: Ergänzen bis zum nächsten Zehner und weiter zur Zielzahl. Schließlich die Aufgabe (11 - 8): 1. Zählstrategie: Von 11 zählen wir rückwärts um 8 Schritte. 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 - das Ergebnis lautet 3. Rechenweg: 11 - 1 = 10, 10 - 1 = 9, 9 - 1 = 8, 8 - 1 = 7, 7 - 1 = 6, 6 - 1 = 5, 5 - 1 = 4, 4 - 1 = 3. Strategie: Rückwärtszählen. 2. Ergänzungsstrategie: Wir ergänzen von 8 zu 11, indem wir die Differenz von 3 hinzufügen. Rechenweg: 8 + 3 = 11, also ist 11 - 8 = 3. Strategie: Ergänzen bis zur Zielzahl. Bei der letzten Aufgabe 13 - 6: 1. Zählstrategie: Wir zählen rückwärts von 13 um 6 Schritte. 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7 - das Ergebnis ist 7. Rechenweg: 13 - 1 = 12, 12 - 1 = 11, 11 - 1 = 10, 10 - 1 = 9, 9 - 1 = 8, 8 - 1 = 7. Strategie: Rückwärtszählen. 2. Ergänzungsstrategie: Wir ergänzen von 6 bis zur Zielzahl 13. Rechenweg: 6 + 4 = 10, 10 + 3 = 13, somit 13 - 6 = 7. Strategie: Ergänzen bis zur Zielzahl.
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