Combinatorial Problems in Ordering Students
Die Aufgabe stellt mehrere kombinatorische Probleme dar, die sich auf eine Schulklasse mit 26 Schülern beziehen, die sich in einer Reihe aufstellen sollen. Hier sind die Lösungen für jede Teilaufgabe:
a) Wie viele unterschiedliche Reihen sind möglich?
Da es sich um 26 Schüler handelt und die Reihenfolge, in der sie stehen, von Bedeutung ist, handelt es sich hierbei um eine Permutation von 26 verschiedenen Elementen. Die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihen ist daher 26!, was bedeutet, dass man 26 Fakultät berechnen muss, also das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis 26.
b) Wie viele unterschiedliche Reihen sind möglich, wenn Schüler A unbedingt vorne stehen möchte und Schüler B unbedingt hinten stehen möchte?
Hier sind zwei Positionen festgelegt: A an der ersten Position und B an der letzten Position. Damit verbleiben 24 Schüler, deren Anordnung variiert werden kann. Das entspricht einer Permutation von 24 verschiedenen Elementen. Die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihen beträgt somit 24!.
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Schüler C und D unbedingt nebeneinander stehen möchten?
Für dieses Szenario können wir C und D als eine Einheit betrachten, da sie nebeneinander stehen wollen. Das gibt uns 25 "Einheiten" (die 24 anderen Schüler plus die "Einheit" von C und D zusammen). Es gibt 25! Möglichkeiten, diese Einheiten anzuordnen. Zusätzlich können C und D intern auf 2! (2 mögliche Anordnungen) Weisen vertauscht werden. Das ergibt 25! * 2!.
d) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Schüler C und D sowie Schüler E und F unbedingt nebeneinander stehen möchten?
Ähnlich wie bei Teil c) werden die Paare C und D sowie E und F jeweils als einzelne Einheiten behandelt. Das bedeutet, wir reduzieren die Anzahl der Einheiten auf 24 (22 anderen Schüler + 2 Paare). Es gibt also 24! Möglichkeiten, die Einheiten anzuordnen. Jedes Paar kann unter sich auf 2! Arten angeordnet werden, also insgesamt 2! * 2! für beide Paare. So ergibt sich die Gesamtanzahl der Möglichkeiten als 24! * 2! * 2!.
