Calculating the Number of Team Combinations for a Sports Competition
Die gegebene Aufgabe lautet:
"In einer Sportmannschaft sind 15 Sportler. Zu einem Wettkampf sollen ein 4er Team antreten. Wie viele Möglichkeiten hat der Trainer, um sein Wettkampfteam zusammen zu stellen?"
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, wie man 4 Sportler aus der Gruppe von 15 auswählen kann. Das ist ein Kombinatorikproblem, das wir mit der Kombinationsformel lösen können:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]
Hier steht \( n \) für die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte (in diesem Fall Sportler), und \( k \) steht für die Anzahl der Objekte, die ausgewählt werden sollen.
Die Formel für unser Problem sieht also wie folgt aus:
\[ C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15 - 4)!} = \frac{15!}{4!11!} \]
Dann berechnen wir:
\[ C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
Das Kürzen ergibt dann:
\[ C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{15}{3} \times \frac{14}{2} \times 13 \times 12 = 5 \times 7 \times 13 \times 12 \]
\[ C(15, 4) = 5 \times 7 \times 13 \times 12 = 35 \times 156 = 5460\]
Der Trainer hat also 5460 verschiedene Möglichkeiten, sein Wettkampfteam aus 4 Sportlern zusammenzustellen.
