Example Question - solving trigonometric
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Trigonometric Expression with Double Angle Formula
Para resolver esta expresión, primero podemos hacer uso de la fórmula de las funciones trigonométricas para el ángulo doble. La fórmula para el seno del ángulo doble es la siguiente: \[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \] Podemos utilizar esta fórmula al reescribir la expresión dada como: \[ \sin(40°)\cos(10°) - 10°\cos(40°) \] Vamos a usar la fórmula del seno del ángulo doble identificando \(\theta\) con nuestro ángulo de 20°, tal que \(2\theta = 40°\). Así que, usando esta identificación tenemos: \[ 2\sin(20°)\cos(20°) \] Dividimos toda la expresión entre 2 para tener algo que se parezca al término dado: \[ \sin(40°) = 2\sin(20°)\cos(20°) \] \[ \frac{\sin(40°)}{2} = \sin(20°)\cos(20°) \] Ahora podemos escribir \(\sin(20°)\cos(20°)\) como \(\frac{\sin(40°)}{2}\) y tendremos: \[ \sin(40°)\cos(10°) = 2\left(\frac{\sin(40°)}{2}\right)\cos(10°) \] \[ \sin(40°)\cos(10°) = \sin(40°)\cos(10°) \] Esto nos indica que nuestra expresión original puede simplificarse usando la identidad del ángulo doble. Sin embargo, hay un error en la segunda parte de la expresión original, la cual tiene un \(10°\) que no parece tener sentido en un contexto trigonométrico estándar; probablemente sea un error tipográfico o una malinterpretación de la pregunta. En un contexto matemático correcto, esperaríamos ver una función o expresión trigonométrica, no un número multiplicando una función de manera aislada. Si asumimos que el \(10°\) es en realidad un término que debería estar dentro de una función trigonométrica o es un error y debe ser omitido, entonces podríamos proceder, pero sin más contexto o información correcta, no podemos resolver la expresión tal como está presentada. Por favor, verifica el problema y proporciona la expresión correcta.
Solving Trigonometric Expressions on the Unit Circle
The image shows four trigonometric expressions for which the values need to be found over the interval 0 ≤ θ < 360° using the unit circle. Let's solve each one: 1. sec^(-1)(-√2) = 135° The secant function is the reciprocal of the cosine function. sec(θ) = 1/cos(θ). Since sec(θ) is -√2, we are looking for when cos(θ) = -1/√2. This occurs at an angle of 135°, assuming the principal value (the smallest positive angle). 2. csc^(-1)(2√3/3) = 40° The cosecant function is the reciprocal of the sine function. csc(θ) = 1/sin(θ). Since csc(θ) is 2√3/3, we are looking for when sin(θ) = 3/2√3, which simplifies to 1/√3. This occurs at an angle of 30°. Since cosecant is positive in the first and second quadrants, and the principal value requires the smallest positive angle, the answer would be 30°. 3. cos^(-1)(-√3/2) = 150° The inverse cosine of -√3/2 implies that we are looking for an angle where the cosine value is -√3/2. This happens in the second quadrant, where the cosine is negative, and the corresponding angle is 150°, which is the principal value. 4. sin^(-1)(-1/2) = 210° or 330° The inverse sine of -1/2 implies we are seeking an angle where the sine value is -1/2. This occurs in the third and fourth quadrants where the sine is negative. The corresponding principal angles are 210° and 330°, both of which are solutions over the interval 0 ≤ θ < 360°. However, since we typically take the principal value for the inverse sine, the solution would be the smallest positive angle - 210°. These angles correspond to the values of the angles where the trigonometric functions of the given values are attained on the unit circle within the specified interval.
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