Solving Second Order Differential Equation with Nonhomogeneous Part
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и неоднородной правой частью. Уравнение имеет вид:
y'' - y' - 6y = 12sin(2x) - 8cos(2x)
Чтобы решить его, сначала найдем общее решение однородного уравнения:
y'' - y' - 6y = 0
Это делается путем нахождения корней характеристического уравнения:
r^2 - r - 6 = 0
Дискриминант (D) этого квадратного уравнения равен:
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25
Это значит, что уравнение имеет два действительных корня:
r1 = (1 + √25)/2 = (1 + 5)/2 = 3
r2 = (1 - √25)/2 = (1 - 5)/2 = -2
Таким образом, общее решение однородного уравнения выглядит так:
y_hom = C1e^(3x) + C2e^(-2x), где C1 и C2 — произвольные константы.
Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Так как правая часть содержит синус и косинус с одинаковыми аргументами, для поиска частного решения необходимо использовать метод вариации параметров или метод неопределенных коэффициентов.
Мы будем использовать метод неопределенных коэффициентов. Подберем решение в виде:
y_part = A*cos(2x) + B*sin(2x)
где A и B коэффициенты, которые нужно определить. Найдем производные этого решения:
y_part' = -2A*sin(2x) + 2B*cos(2x)
y_part'' = -4A*cos(2x) - 4B*sin(2x)
Подставим y_part, y_part' и y_part'' в неоднородное уравнение:
(-4A*cos(2x) - 4B*sin(2x)) - (-2A*sin(2x) + 2B*cos(2x)) - 6(A*cos(2x) + B*sin(2x)) = 12sin(2x) - 8cos(2x)
Преобразуем это уравнение и соберем коэффициенты при cos(2x) и sin(2x):
(-4A - 6A)cos(2x) + (-4B - 2B - 6B)sin(2x) = -8cos(2x) + 12sin(2x)
Получаем систему уравнений:
-10A = -8 => A = 8/10 = 4/5
-12B = 12 => B = -1
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:
y_part = (4/5)*cos(2x) - sin(2x)
Итоговое решение дифференциального уравнения — это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
y = y_hom + y_part = C1e^(3x) + C2e^(-2x) + (4/5)*cos(2x) - sin(2x)
Здесь C1 и C2 — константы, которые определяются из начальных условий задачи, если таковые имеются.
