Differential Equation with Existence and Uniqueness Theorem
La ecuación diferencial dada es:
<p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p>
Para encontrar puntos \((x, y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse, necesitamos identificar puntos donde la función \(f(P) = P(1 - P)\) o sus derivadas parciales no sean continuas. Sin embargo, \(f(P)\) y su derivada \(\frac{df}{dP}\) son continuas para todo \(P\) real.
El teorema de existencia y unicidad nos dice que si \(f\) y \(\frac{df}{dP}\) son continuas en algunos intervalos abiertos conteniendo \(P_0\), entonces una y solo una solución existe localmente alrededor del punto \((t_0, P_0)\).
En este caso, como \(f(P) = P(1 - P)\) es un polinomio, es continuo y diferenciable en todas partes, y por lo tanto, su derivada también es continua.
Dado que no hay puntos donde \(f(P)\) o \(\frac{df}{dP}\) sean discontinuas, no hay puntos \( (x, y) \) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse para esta ecuación en particular.
