Determining Number of Prime Factors for a Number with 24 Divisors
Die Aufgabenstellung lautet: "Eine Zahl hat genau 24 Teiler."
a. Wie viele verschiedene Primfaktoren kann die Zahl haben?
Um zu bestimmen, wie viele verschiedene Primfaktoren eine Zahl haben kann, die genau 24 Teiler hat, müssen wir zunächst verstehen, wie die Anzahl der Teiler mit den Primfaktoren zusammenhängt. Die Anzahl der Teiler einer Zahl ist gleich dem Produkt der um eins erhöhten Exponenten ihrer Primfaktorzerlegung.
Ein Beispiel: Wenn eine Zahl als \( p^a \times q^b \) dargestellt werden kann, wobei \( p \) und \( q \) Primzahlen sind und \( a \) und \( b \) die entsprechenden Exponenten, dann ist die Anzahl der Teiler gleich \( (a+1)(b+1) \).
Da wir genau 24 Teiler wollen, suchen wir ganze Zahlen \( a \) und \( b \) für die gilt, dass \( (a+1)(b+1) = 24 \). Die Faktoren von 24 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Wir suchen Kombinationen dieser Faktoren abzüglich 1, die uns die Exponenten in der Primfaktorzerlegung geben.
Hier sind einige Möglichkeiten, wie wir die Zahl 24 als Produkt zweier natürlicher Zahlen darstellen können:
- \( 24 = 1 \times 24 \) -> Mögliche Exponenten sind \( 0 \) und \( 23 \)
- \( 24 = 2 \times 12 \) -> Mögliche Exponenten sind \( 1 \) und \( 11 \)
- \( 24 = 3 \times 8 \) -> Mögliche Exponenten sind \( 2 \) und \( 7 \)
- \( 24 = 4 \times 6 \) -> Mögliche Exponenten sind \( 3 \) und \( 5 \)
Da nur die Exponenten \( 1 \), \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \), \( 5 \), \( 7 \), \( 11 \) und \( 23 \) auftauchen, und die Exponenten auf unterschiedliche Primzahlen angewendet werden müssen, kann die Zahl bis zu drei verschiedene Primfaktoren haben, zum Beispiel wenn die Zerlegung die Form \( p^1 \times q^3 \times r^7 \) mit \( (1+1)(3+1)(7+1) = 2 \times 4 \times 8 = 24 \) hat.
b. Was ist die kleinste Zahl mit genau 24 Teilern?
Die kleinste Zahl mit genau 24 Teilern wäre diejenige, welche die kleinsten Primzahlen als Basis hat. Wenn wir davon ausgehen, dass wir drei verschiedene Primfaktoren verwenden (basierend auf der vorherigen Antwort), sollten die Exponenten so klein wie möglich sein, um die kleinste Zahl zu erhalten. Wir verwenden die Exponenten \( 1 \), \( 3 \) und \( 7 \), denn 2 × 4 × 8 = 24. Also:
- \(2^7\) für den Exponenten \(7\),
- \(3^3\) für den Exponenten \(3\), und
- \(5^1\) für den Exponenten \(1\).
Dann ist die kleinste Zahl \( 2^7 \times 3^3 \times 5 = 128 \times 27 \times 5 = 128 \times 135 = 17280 \).
c. Was ist die zweitkleinste Zahl mit genau 24 Teilern?
Die zweitkleinste Zahl mit 24 Teilern könnten wir erhalten, indem wir die nächsthöhere Kombination der Exponenten oder die nächsten höchsten Primzahlen auswählen. Um bei drei Primfaktoren zu bleiben und dabei dem Standard der Primzahlen zu folgen, könnten wir beispielsweise den Exponenten \( 3 \) von \( 2 \) auf die nächsthöhere Primzahl \( 3 \) anwenden und erhalten somit:
\(2^7 \times 3^1 \times 7^3\).
Dies ergibt \( 2^7 \times 3 \times 7^3 = 128 \times 3 \times 343 = 128 \times 1029 = 131712 \).
d. Was ist die größte Zahl mit genau 24 Teilern?
Die größte Zahl mit genau 24 Teilern werden wir erhalten, indem wir die kleinsten Exponenten und die größtmöglichen Primzahlen wählen. Die kleinste Kombination von Exponenten, die uns 24 gibt, ist \( 23 \), \( 1 \), was einer Zerlegung von \( p^{23} \times q \) entspricht. Hier würden wir als Primzahlen die größtmöglichen Primzahlen einsetzen, die wir finden können. Da dies eine theoretische Frage ist, gibt es keine obere Grenze für die Größe der Primzahlen, also ist die Antwort unendlich groß. In der Praxis würden wir jedoch die größten uns bekannten Primzahlen zu diesem Zeitpunkt wählen.
