Example Question - slope and intercept
Here are examples of questions we've helped users solve.
Graphing a Line in Slope-Intercept Form
To graph the line given by the equation: \[ y + 3 = \frac{9}{4}(x + 4) \] We should first rewrite it into the slope-intercept form, which is \( y = mx + b \), where \( m \) is the slope and \( b \) is the y-intercept. Let's solve the equation for \( y \): \[ y = \frac{9}{4}(x + 4) - 3 \] Now, distribute the \( \frac{9}{4} \) across \( (x + 4) \): \[ y = \frac{9}{4}x + \frac{9}{4} \cdot 4 - 3 \] Simplify the constants: \[ y = \frac{9}{4}x + 9 - 3 \] \[ y = \frac{9}{4}x + 6 \] Now we have the equation in slope-intercept form with a slope \( m = \frac{9}{4} \) and a y-intercept \( b = 6 \). To graph this line, follow these steps: 1. Start by plotting the y-intercept (0,6) on the graph. 2. From this point, use the slope to determine the next point. The slope is \( \frac{9}{4} \) which means that for every 4 units you move to the right (in the positive x-direction), you move 9 units up (in the positive y-direction). 3. Plot another point using the slope. For example, starting at (0,6), go right 4 units to (4,6) and then up 9 units to (4,15). 4. Draw a straight line through the points to complete the graph of the line. Remember, you can plot more points if needed to ensure accuracy before drawing your line.
Equations of Perpendicular and Parallel Lines
La pregunta está solicitando dos cosas con respecto a la recta con la ecuación x - 3y = 9: a) Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a esta recta y atraviesa el punto (1, -3). b) Hallar la ecuación de la recta que es paralela a esta recta y atraviesa el punto (4, -3). Vamos a resolver ambas partes de la pregunta: a) Para hallar la ecuación de la recta perpendicular a la dada primero necesitamos encontrar la pendiente de la recta original. Podemos reorganizar la ecuación a la forma pendiente-intersección, y = mx + b, donde 'm' es la pendiente y 'b' es el punto donde la recta interseca al eje y. La ecuación original es: x - 3y = 9 Vamos a despejar 'y': -3y = -x + 9 y = (1/3)x - 3 Aquí vemos que la pendiente 'm' es 1/3. La pendiente de una recta perpendicular a otra es el negativo recíproco de la pendiente de la primera. Así que la pendiente (m) de la recta perpendicular es -3 (el negativo recíproco de 1/3). Usamos ahora la fórmula de punto-pendiente para la recta que pasa por el punto (1, -3) con una pendiente de -3: y - y1 = m(x - x1) Sustituimos los valores: y - (-3) = -3(x - 1) y + 3 = -3x + 3 Despejamos para y: y = -3x + 3 - 3 y = -3x Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular es y = -3x. b) Para la ecuación de la recta paralela, usaremos la misma pendiente que la recta original (1/3), dado que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. De nuevo usamos la fórmula de punto-pendiente y la pendiente de la recta original con el punto dado (4, -3): y - y1 = m(x - x1) Sustituimos los valores: y - (-3) = (1/3)(x - 4) y + 3 = (1/3)x - 4/3 Despejamos para y: y = (1/3)x - 4/3 - 3 y = (1/3)x - 4/3 - 9/3 y = (1/3)x - 13/3 La ecuación de la recta paralela a x - 3y = 9 y que pasa por el punto (4, -3) es y = (1/3)x - 13/3.
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