Hasse Diagrams for a Number and Finding Similar Structure
Die Aufgabe lautet:
a) Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm für die Zahl 495. Beschreiben Sie das Diagramm.
b) Nennen Sie zwei Zahlen, deren Hasse-Diagramme die gleiche Struktur aufweisen wie das der Zahl 495, Begründen Sie kurz.
Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir zunächst die Primfaktorzerlegung der Zahl 495 durchführen:
495 = 3 × 3 × 5 × 11
Die Zahl 495 hat also die Primfaktoren 3, 3 (wobei 3 zweimal als Faktor auftritt), 5 und 11. Ein Hasse-Diagramm stellt die Teiler einer Zahl in einer Form dar, die ihre Hierarchie zeigt, basierend auf der Teilbarkeit. Da wir keine Bilder zeichnen können, beschreibe ich, wie das Hasse-Diagramm der Zahl 495 aussehen würde:
- Ganz unten im Diagramm wäre die 1, der kleinste Teiler.
- Die nächste Ebene darüber bestünde aus den Primfaktoren der Zahl: 3, 5, und 11
- Da 3 zweimal als Faktor auftritt, hätte das nächste Level darüber die Zahl 9 (da 3 × 3 = 9)
- Die folgenden Ebenen würden die Produkte dieser Primfaktoren zeigen: 15 (3 × 5), 33 (3 × 11), und 55 (5 × 11)
- Dann käme die Ebene mit den Produkten aus drei Faktoren: 45 (3 × 3 × 5) und 99 (3 × 3 × 11)
- Ganz oben, als größter Teiler vor 495, wäre 165 (3 × 5 × 11)
- An der Spitze des Diagramms wäre die Zahl 495 selbst
Für Teil b) der Aufgabe müssen wir zwei Zahlen finden, deren Hasse-Diagramme die gleiche Struktur aufweisen. Die Struktur des Hasse-Diagramms einer Zahl wird durch die Anzahl und Vielfachheit ihrer Primfaktoren bestimmt. Daher suchen wir Zahlen mit vier Primfaktoren, wobei ein Primfaktor doppelt auftritt.
Beispiele für solche Zahlen könnten sein:
- 2 × 2 × 7 × 13 = 364, da sie aus den Primfaktoren 2 (zweimal), 7 und 13 besteht.
- 2 × 2 × 3 × 17 = 204, da sie aus den Primfaktoren 2 (zweimal), 3 und 17 besteht.
Beide Zahlen haben das gleiche Strukturmuster im Hasse-Diagramm wie die Zahl 495, weil sie einen quadratischen Faktor und zwei weitere verschiedene Primfaktoren haben.
