Financial Math: Capital Growth and Series Calculations
Pour résoudre cette question, commençons par le point 2.
2. **Exprimer C_{n+1} en fonction de C_n.**
D'après l'énoncé, chaque année, le capital est augmenté de 4% et une somme fixe de 500 FCFA est ajoutée. On peut donc exprimer le capital de l'année suivante, C_{n+1}, en fonction du capital de l'année en cours, C_n, ainsi :
C_{n+1} = C_n + 0,04 \cdot C_n + 500
C_{n+1} = C_n (1 + 0,04) + 500
C_{n+1} = C_n (1,04) + 500
3. **Calculer U_0 et U_1.**
a. U_0 se calcule comme suit :
U_0 = C_0 + 12 \cdot 500
U_0 = 10 \, 000 + 12 \cdot 500
U_0 = 10 \, 000 + 6 \, 000
U_0 = 16 \, 000 FCFA
b. Pour calculer U_1, nous devons d'abord calculer C_1 en utilisant la formule obtenue en 2 :
C_1 = C_0 (1,04) + 500
C_1 = 10 \, 000 (1,04) + 500
C_1 = 10 \, 400 + 500
C_1 = 10 \, 900 FCFA
Ensuite, nous calculons U_1 :
U_1 = C_1 + 12 \cdot 500
U_1 = 10 \, 900 + 6 \, 000
U_1 = 16 \, 900 FCFA
c. Pour montrer que U_{n+1} = (1,04) U_n, nous allons utiliser la formule qu'on a dérivée pour C_{n+1} et y insérer la définition de U_n = C_{n} + 12 \cdot 500 :
U_{n+1} = C_{n+1} + 12 \cdot 500
U_{n+1} = (1,04 C_n + 500) + 6 \, 000
U_{n+1} = 1,04 C_n + 1,04 \cdot 12 \cdot 500 + 500
U_{n+1} = 1,04 (C_n + 12 \cdot 500) + 500 - 12 \cdot 500 \cdot 0,04
En reconnaissant que C_n + 12 \cdot 500 est simplement U_n :
U_{n+1} = 1,04 U_n + 500 - 240
U_{n+1} = 1,04 U_n + 260
d. Pour déduire la nature de la suite (U_n), nous observons qu'il s'agit d'une suite arithmético-géométrique, car chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par 1,04 et en ajoutant 260.
e. Enfin, pour exprimer U_n en fonction de n en euros et en fonction de U_0, nous utiliserons la formule récurrente que nous avons trouvée précédemment :
U_n = 1,04 U_{n-1} + 260
Pour trouver une formule explicite, nous devons résoudre cette équation de récurrence, ce qui est plus complexe et peut nécessiter une méthodologie spécifique à la résolution de suites arithmético-géométriques. Habituellement, on cherche la forme \( U_n = a \cdot 1,04^n + b \) où a et b sont des constantes à déterminer. Cependant, cela nécessite un développement plus avancé que celui qui peut être fourni ici.
