Solving Linear Homogeneous Differential Equations
Уравнение имеет вид линейного однородного дифференциального уравнения со стандартным решением через характеристическое уравнение. Чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка, нам нужно сначала составить характеристическое уравнение. Данный вид уравнения соответствует общей форме:
\[ y'' - ay' + by = 0 \]
где \(a = 8\) и \(b = 16\). Подставляем значения \(a\) и \(b\) в характеристическое уравнение:
\[ r^2 - ar + b = 0 \]
\[ r^2 - 8r + 16 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение:
\[ r^2 - 8r + 16 = (r - 4)^2 = 0 \]
Отсюда следует, что мы имеем двукратный корень \(r = 4\).
Когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, общее решение дифференциального уравнения формируется следующим образом:
\[ y = (C_1 + C_2x)e^{rx} \]
где \(C_1\) и \(C_2\) - константы интегрирования, которые определяются из начальных условий задачи, если таковые имеются.
Исходя из нашего кратного корня, общее решение данного уравнения будет:
\[ y = (C_1 + C_2x)e^{4x} \]
Это и есть искомое общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
