Calculating Volume of Cone Generated by Rotating Line Around x-Axis
Claro, te ayudaré a resolver el problema. El problema nos pide calcular el volumen de un cono generado al girar una recta alrededor del eje x. La recta dada es y = 2x + 1 y queremos encontrar el volumen entre x = 1 y x = 5.
Vamos a usar el método de los discos para rotación alrededor del eje x, que nos dice que el volumen \(V\) generado por la rotación de la gráfica de una función \(y=f(x)\) alrededor del eje x, desde \(x=a\) a \(x=b\), es dado por la integral:
\[V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\]
Ahora, sustituimos \(y=2x+1\) en la fórmula del volumen para obtener \(f(x) = 2x + 1\). El intervalo de integración es de \(a=1\) a \(b=5\).
\[V = \pi \int_{1}^{5} (2x + 1)^2 dx\]
Ahora, procedemos a resolver la integral:
\[V = \pi \int_{1}^{5} (4x^2 + 4x + 1) dx\]
\[V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{1}^{5}\]
Calculamos el valor de la integral definida:
\[V = \pi \left[ \frac{4}{3}(5)^3 + 2(5)^2 + 5 - \left( \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 \right) \right]\]
\[V = \pi \left[ \frac{4}{3}(125) + 2(25) + 5 - \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) \right]\]
\[V = \pi \left[ \frac{500}{3} + 50 + 5 - \frac{7}{3} \right]\]
\[V = \pi \left[ \frac{500}{3} + \frac{150}{3} + \frac{15}{3} - \frac{7}{3} \right]\]
\[V = \pi \left[ \frac{665}{3} \right]\]
\[V = \frac{665\pi}{3}\]
Por lo tanto, el volumen del cono generado al girar la recta y = 2x + 1 alrededor del eje x, desde x = 1 hasta x = 5, es \(\frac{665\pi}{3}\) unidades cúbicas.
