Solving Polynomial Question
Bien sûr, je vais vous aider à résoudre la question fournie dans l'image.
La question est la suivante:
On considère le polynôme \( P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \).
1. Vérifier que \( 3 \) est une racine de \( P(x) \).
2. Éffectuer la division euclidienne de \( P(x) \) par \( Q(x) = x - 3 \) et vérifier que \( Q(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \) : 2. (Effectuer la division euclidienne)
3. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( Q(x) = 0 \).
4. Factoriser \( Q(x) \).
5. En déduire une factorisation de \( P(x) = 0 \).
Pour répondre à ces questions:
1. Pour vérifier que \( 3 \) est une racine de \( P(x) \), remplaçons \( x \) par \( 3 \) dans le polynôme et vérifions si cela donne \( 0 \):
\( P(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 27 - 18 - 15 + 6 = 0 \).
Donc, \( 3 \) est bien une racine de \( P(x) \).
2. Nous allons maintenant réaliser la division euclidienne de \( P(x) \) par \( Q(x) = x - 3 \):
\( (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 3) = x^2 + x + 2 \)
\(- (x^3 - 3x^2) \)
\-------------
\( x^2 - 5x \)
\(- (x^2 - 3x) \)
\-------------
\( -2x + 6 \)
\( -(-2x + 6) \)
\-------------
\( 0 \)
Donc, la division euclidienne nous donne un quotient de \( x^2 + x + 2 \) et un reste de \( 0 \), ce qui confirme que \( 3 \) est une racine de \( P(x) \) et que \( Q(x) \) est un facteur de \( P(x) \).
3. Pour résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( Q(x) = 0 \), nous utilisons le quotient trouvé précédemment:
\( x^2 + x + 2 = 0 \)
Malheureusement, ce polynôme n'a pas de racines réelles car le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \) est négatif.
4. \( Q(x) \) ne peut pas être factorisé dans les nombres réels car il n'a pas de racines réelles. Dans les nombres complexes, il pourrait être factorisé mais la question semble demander une factorisation sur les réels uniquement.
5. Sachant que \( 3 \) est une racine de \( P(x) \) et que \( Q(x) = x - 3 \) est un facteur de \( P(x) \), la factorisation de \( P(x) \) est:
\( P(x) = (x - 3)(x^2 + x + 2) \)
C'est la factorisation de \( P(x) \) sur les réels. Notez cependant que la factorisation complète, y compris les racines complexes de \( x^2 + x + 2 \), n'est pas demandée ici car les racines complexes ne sont pas dans le domaine des nombres réels \( \mathbb{R} \).
