Combinatorics Problem: PIN Creation and Permutations
Die Aufgabe lautet:
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen PIN aus 4 Ziffern zu erstellen, wenn es sich um unterschiedliche Ziffern handeln soll?
Welcher kombinatorischen Grundsituation ist die obige Aufgabenstellung zuzuordnen? Kreuzen Sie den richtigen Term an und begründen Sie.
Die Optionen sind:
i) \( n^k \)
ii) \( \frac{n!}{(n-k)!} \)
iii) \( \binom{n}{k} \)
iv) \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Die Antwort auf diese Frage ist Option ii), \( \frac{n!}{(n-k)!} \), weil dies eine Permutation ohne Wiederholung darstellt. Da wir 4 Ziffern für den PIN auswählen, ohne sie zu wiederholen, aus einer Gesamtmenge von 10 möglichen Ziffern (0-9), ergibt sich das durch:
Es gibt 10 Optionen für die erste Ziffer, 9 für die zweite, 8 für die dritte und 7 für die vierte Ziffer. Also:
\( P(10, 4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \)
Da wir die untereinanderfolgenden natürlichen Zahlen von 10 aufwärts zählen und mit 7 stoppen.
b) Formulieren Sie die obige Aufgabenstellung so um, dass sie sich einer der anderen drei Grundsituationen zuordnen lässt. Geben Sie den dazugehörigen Term (mit eingesetzten Zahlen) an.
Einer der anderen drei Grundsituationen könnte eine Kombination ohne Wiederholung sein. Das bedeutet, dass die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird. Wenn wir also statt des 4-stelligen PINs eine Auswahl von 4 Ziffern treffen wollten, unabhängig von der Reihenfolge, in der sie angeordnet sind, dann würde das einer Kombination entsprechen.
Option iii), \( \binom{n}{k} \), ist der Term, der diese Situation repräsentiert:
\( \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \times 6!} \)
Das wäre der Fall, wenn man zum Beispiel 4 Ziffern für eine Lotterieziehung aussucht, bei der die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, keine Rolle spielt.
