Combinatorics in Mathematics: Counting Possibilities
Um die gestellten Fragen zu beantworten, können wir Kombinatorik verwenden, was ein Teilgebiet der Mathematik ist, das sich mit der Anzahl der Möglichkeiten beschäftigt, eine bestimmte Auswahl von Objekten zu ordnen oder auszuwählen.
a. Ein Sportverein mit 35 Mitgliedern darf 6 Mitglieder auf einen Wettkampf schicken. Wie viele unterschiedliche Besetzungen der Wettkampfmannschaft sind möglich?
Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung. Wir wollen wissen, auf wie viele Arten wir 6 Mitglieder aus einer Gruppe von 35 auswählen können, ohne dass die Reihenfolge eine Rolle spielt.
Die Formel für eine Kombination ohne Wiederholung lautet \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), wobei \( n \) die Gesamtzahl der Objekte ist und \( k \) die Anzahl der ausgewählten Objekte.
Setzen wir ein:
\( \binom{35}{6} = \frac{35!}{6!(35-6)!} = \frac{35!}{6! \cdot 29!} \)
Diese Berechnung vereinfacht sich, indem man die Fakultäten kürzt:
\( \frac{35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \)
\( = \frac{35}{1} \cdot \frac{34}{2} \cdot \frac{33}{3} \cdot \frac{32}{4} \cdot \frac{31}{5} \cdot \frac{30}{6} \)
\( = 35 \cdot 17 \cdot 11 \cdot 8 \cdot 6.2 \cdot 5 \)
Nun multiplizieren wir diese Zahlen:
\( = 35 \cdot 17 \cdot 11 \cdot 8 \cdot 6.2 \cdot 5 \)
\( = 595 \cdot 8 \cdot 6.2 \cdot 5 \)
\( = 4760 \cdot 6.2 \cdot 5 \)
\( = 29512 \cdot 5 \)
\( = 147560 \)
Es gibt also 147560 verschiedene Möglichkeiten, wie der Sportverein seine Mannschaft für den Wettkampf zusammenstellen könnte.
b. An einem Gewinnspiel nehmen 4 Kandidaten teil, in einem Los-Topf befinden sich Lose für 12 unterschiedliche Gewinne. Wie viele unterschiedliche Spielausgänge sind möglich?
In diesem Fall hat jeder Kandidat die Möglichkeit, einen von 12 Preisen zu gewinnen. Da es vier Kandidaten gibt und jeder einen anderen Preis bekommen kann, haben wir eine Permutation ohne Wiederholung.
Für jeden Preis, den der erste Kandidat gewinnt, gibt es 11 verbleibende Preise für den zweiten Kandidaten, dann 10 für den dritten und schließlich 9 für den vierten. Die Anzahl der Spielausgänge ist das Produkt dieser Zahlen:
\( 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880 \)
Es gibt 11880 verschiedene Spielausgänge.
c. In einer Klasse mit 25 Schülern werden 5 Schüler gewählt, die Klassendienste übernehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Klassendienste zu verteilen?
Dies ist wieder eine Kombinationsaufgabe, da die Reihenfolge der gewählten Schüler keine Rolle spielt. Wir verwenden die gleiche Formel für Kombinationen ohne Wiederholung:
\( \binom{25}{5} = \frac{25!}{5!(25-5)!} = \frac{25!}{5! \cdot 20!} \)
Diese Berechnung vereinfacht sich:
\( \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \)
\( = 25 \cdot 6 \cdot 23 \cdot 11 \cdot 21 \)
\( = 150 \cdot 23 \cdot 11 \cdot 21 \)
\( = 3450 \cdot 11 \cdot 21 \)
\( = 37950 \cdot 21 \)
\( = 796950 \)
Es gibt also 796950 verschiedene Möglichkeiten, wie die Klassendienste unter den Schülern verteilt werden können.
