Equations of Perpendicular and Parallel Lines
La pregunta está solicitando dos cosas con respecto a la recta con la ecuación x - 3y = 9:
a) Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a esta recta y atraviesa el punto (1, -3).
b) Hallar la ecuación de la recta que es paralela a esta recta y atraviesa el punto (4, -3).
Vamos a resolver ambas partes de la pregunta:
a) Para hallar la ecuación de la recta perpendicular a la dada primero necesitamos encontrar la pendiente de la recta original. Podemos reorganizar la ecuación a la forma pendiente-intersección, y = mx + b, donde 'm' es la pendiente y 'b' es el punto donde la recta interseca al eje y.
La ecuación original es:
x - 3y = 9
Vamos a despejar 'y':
-3y = -x + 9
y = (1/3)x - 3
Aquí vemos que la pendiente 'm' es 1/3. La pendiente de una recta perpendicular a otra es el negativo recíproco de la pendiente de la primera. Así que la pendiente (m) de la recta perpendicular es -3 (el negativo recíproco de 1/3).
Usamos ahora la fórmula de punto-pendiente para la recta que pasa por el punto (1, -3) con una pendiente de -3:
y - y1 = m(x - x1)
Sustituimos los valores:
y - (-3) = -3(x - 1)
y + 3 = -3x + 3
Despejamos para y:
y = -3x + 3 - 3
y = -3x
Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular es y = -3x.
b) Para la ecuación de la recta paralela, usaremos la misma pendiente que la recta original (1/3), dado que las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
De nuevo usamos la fórmula de punto-pendiente y la pendiente de la recta original con el punto dado (4, -3):
y - y1 = m(x - x1)
Sustituimos los valores:
y - (-3) = (1/3)(x - 4)
y + 3 = (1/3)x - 4/3
Despejamos para y:
y = (1/3)x - 4/3 - 3
y = (1/3)x - 4/3 - 9/3
y = (1/3)x - 13/3
La ecuación de la recta paralela a x - 3y = 9 y que pasa por el punto (4, -3) es y = (1/3)x - 13/3.
