Counting Combinations of Numbers
In der Aufgabe wird gefragt, auf wie viele Arten man eine höchstens dreistellige Zahl bilden kann, indem man aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 und 5 wählt, ohne dass eine Ziffer mehrfach vorkommt und so, dass die Ziffern einer gewählten Zahl von links nach rechts ihrer Größe nach geordnet sind.
Wenn man eine solche Zahl bildet, bedeutet das, dass man entweder eine einstellige, zweistellige oder dreistellige Zahl wählen kann.
Für eine einstellige Zahl kann jede der sechs Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5) verwendet werden. Das bedeutet, es gibt 6 Möglichkeiten für einstellige Zahlen.
Für eine zweistellige Zahl muss die erste Ziffer kleiner als die zweite Ziffer sein. Wenn man die kleinste Ziffer wählt (0), gibt es 5 Möglichkeiten für die zweite Ziffer. Wählt man die nächsthöhere Ziffer (1) für die erste Position, dann bleiben noch 4 Möglichkeiten für die zweite Ziffer, und so weiter. Daraus ergibt sich:
5 (für die erste Ziffer 0) +
4 (für die erste Ziffer 1) +
3 (für die erste Ziffer 2) +
2 (für die erste Ziffer 3) +
1 (für die erste Ziffer 4) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 Möglichkeiten für zweistellige Zahlen.
Für eine dreistellige Zahl muss man eine ähnliche Auswahl treffen, wobei die erste Ziffer kleiner als die zweite und die zweite kleiner als die dritte sein muss. Man kann das als Kombination ohne Wiederholung betrachten, bei der aus den 6 Ziffern 3 gewählt werden. Dies entspricht der binomischen Formel "6 über 3":
\( \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \) Möglichkeiten für dreistellige Zahlen.
Wenn man die Anzahl der einstelligen, zweistelligen und dreistelligen Zahlen zusammenzählt, erhält man die Gesamtzahl der Möglichkeiten:
6 (einstellige Zahlen) + 15 (zweistellige Zahlen) + 20 (dreistellige Zahlen) = 6 + 15 + 20 = 41 Möglichkeiten.
Teil b) der Frage verlangt, dass man die Zahlen, die gebildet werden können, in einer übersichtlichen Liste darstellt. Da es insgesamt 41 solche Zahlen gibt, würde das eine längere Liste bedeuten. Um Ihnen ein paar Beispiele zu geben, wären einstellige Zahlen einfach 0, 1, 2, 3, 4, 5. Einige Beispiele für zweistellige Zahlen wären 01, 02, 03, usw. und für dreistellige Zahlen 012, 013, 014, usw. Die Liste würde alle Kombinationen solcher Zahlen in aufsteigender Reihenfolge enthalten.
