Complex Plane and Numeric Sequences
<p>Pour l'exercice 1:</p>
<p>a) Pour résoudre dans C l'équation \(z^2 + \left(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}i\right)z + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}i = 0\), on utilise la formule générale des équations quadratiques \(z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), avec \(a = 1\), \(b = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}i\) et \(c = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}i\).</p>
<p>\(z_{1,2} = \frac{-\left(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}i\right) \pm \sqrt{\left(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}i\right)^2 - 4\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{3}i\right)}}{2}\)</p>
<p>\(z_{1,2} = \frac{-\left(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}i\right) \pm \sqrt{\frac{-4}{3}}}{2}\)</p>
<p>b) Les points \(A, B, C\) et \(D\) sont définis respectivement dans l'énoncé.</p>
<p>c) Pour montrer que \(z_B + z_C = z_A + z_D\), il suffit de vérifier que \(z_B + z_C\) et \(z_A + z_D\) sont égaux en calculant les deux sommes:</p>
<p>\(z_B = -1 + \frac{1}{3}i\)</p>
<p>\(z_C = -\frac{1}{2} - \sqrt{3}i\)</p>
<p>\(z_B + z_C = -1 + \frac{1}{3}i - \frac{1}{2} - \sqrt{3}i\)</p>
<p>Pour \(z_A\) et \(z_D\), on utilise les valeurs de \(z_{1,2}\) obtenues précédemment.</p>
<p>d) On trouve les milieux \((AD)\) et \((BC)\) en calculant la moyenne des points qui forment les segments:</p>
<p>\(M_{AD} = \frac{z_A + z_D}{2}\)</p>
<p>\(M_{BC} = \frac{z_B + z_C}{2}\)</p>
<p>e) La distance entre \(O\) et \(M_{BC}\) et le module de \((OM_{BC})\) sont trouvés en calculant \(\left | OM_{BC} \right |\) en utilisant le milieu trouvé précédemment.</p>
<p>Pour l'exercice 2:</p>
<p>a) Pour calculer \(u_0\) et \(u_1\), on utilise les valeurs initiales données.</p>
<p>b) Pour démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = (-2)^n - 3n - 3\), on initialise la récurrence en vérifiant l'égalité pour \(n = 0\) et \(n = 1\), puis on fait l'hypothèse de récurrence pour \(n\) et on démontre pour \(n+1\).</p>
<p>c) Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante se fait en considérant \(u_{n+1} - u_n\) et en démontrant que cette quantité est négative pour tout \(n \in \mathbb{N}\).</p>
<p>d) \(u_n = (-2)^n - 3n - 3 \Rightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty\)</p>
<p>Ce sont les étapes de calcul suivant la méthodologie demandée. Pour obtenir une solution complète et exacte, chaque étape doit être effectuée avec soin en utilisant les principes appropriés de l'algèbre et de l'analyse.</p>
