Calculating Four-Digit Numbers Meeting Criteria
Wir sollen die Anzahl der vierstelligen Zahlen berechnen, die folgende Kriterien erfüllen:
a. Die ausschließlich aus unterschiedlichen Ziffern bestehen.
b. Die Ziffer 4 enthalten.
a. Um die Anzahl der vierstelligen Zahlen zu finden, die alle aus unterschiedlichen Ziffern bestehen, müssen wir die Permutationen der 10 möglichen Ziffern (0 bis 9) für jede Stelle der Zahl berücksichtigen. Da die erste Ziffer (die Tausenderstelle) nicht Null sein kann, gibt es 9 mögliche Zahlen für die erste Stelle. Für die zweite Stelle (die Hunderterstelle) bleiben nur noch 9 Ziffern übrig (da eine bereits verwendet wurde und die Null jetzt zulässig ist), für die dritte Stelle bleiben 8 Optionen und für die vierte Stelle 7 Optionen.
Also:
9 (Tausenderstelle) * 9 (Hunderterstelle) * 8 (Zehnerstelle) * 7 (Einerstelle) = 4536 verschiedene vierstellige Zahlen, die aus unterschiedlichen Ziffern bestehen.
b. Um die Anzahl der vierstelligen Zahlen zu berechnen, die die Ziffer 4 enthalten, können wir das Problem in mehrere Fälle unterteilen, abhängig davon, an welcher Stelle sich die 4 befindet:
1. Fall: Die 4 ist an der ersten Stelle. Dann haben wir für die anderen drei Stellen 9 Optionen (da die 4 schon verwendet wird):
1 (für die 4 an der ersten Stelle) * 9 (Hunderterstelle) * 9 (Zehnerstelle) * 9 (Einerstelle) = 729 Möglichkeiten.
2. Fall: Die 4 ist an der zweiten Stelle. Da die erste Stelle nicht Null sein kann, bleiben 8 Optionen für die erste Stelle und wieder jeweils 9 für die anderen beiden Stellen:
8 (Tausenderstelle) * 1 (für die 4 an der zweiten Stelle) * 9 * 9 = 648 Möglichkeiten.
3. Fall: Die 4 ist an der dritten Stelle. Dafür gibt es wiederum 8 Optionen für die erste Stelle und 9 für beide der restlichen Stellen:
8 * 9 (für die ersten zwei Stellen) * 1 (für die 4 an der dritten Stelle) * 9 = 648 Möglichkeiten.
4. Fall: Die 4 ist an der vierten Stelle. Hier gibt es ebenfalls 8 Optionen für die erste Stelle und 9 für die anderen beiden Stellen, bevor die 4 gesetzt wird:
8 * 9 * 9 (für die ersten drei Stellen) * 1 (für die 4 an der vierten Stelle) = 648 Möglichkeiten.
Insgesamt haben wir für alle Fälle:
Fall 1 + Fall 2 + Fall 3 + Fall 4 = 729 + 648 + 648 + 648 = 2673 verschiedene vierstellige Zahlen, die die Ziffer 4 enthalten.
Das ergibt für:
a. 4536 Zahlen
b. 2673 Zahlen
