Example Question - number of possibilities
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Number of Possible Combinations of Numbers
Um die Frage aus dem Bild zu beantworten, lösen wir die Aufgabe schrittweise: Aufgabenteil a: Wir sollen die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, eine höchstens dreistellige Zahl zu bilden, bei der keine Ziffer mehrfach auftreten darf und die Ziffern von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden müssen. Die Ziffernkarten sind 0, 1, 2, 3, 4 und 5. Für einstellige Zahlen haben wir 6 Möglichkeiten, da jede der Zahlen 0 bis 5 gewählt werden kann. Für zweistellige Zahlen wählen wir die erste Ziffer (wobei die 0 nicht als führende Ziffer gewählt werden kann, da dies lediglich eine einstellige Zahl ergeben würde). Es verbleiben also 5 Möglichkeiten für die erste Ziffer (1 bis 5). Für die zweite Ziffer haben wir dann 4 verbleibende Möglichkeiten (die restlichen Ziffern außer der bereits gewählten), also insgesamt 5 * 4 = 20 Möglichkeiten. Für dreistellige Zahlen wählen wir die erste Ziffer (wieder 1 bis 5, da 0 an erster Stelle nicht möglich ist) – das gibt 5 Möglichkeiten. Nachdem die erste Ziffer gewählt wurde, haben wir 4 Möglichkeiten für die zweite Ziffer und dann bleiben noch 3 Möglichkeiten für die dritte Ziffer. Also gibt es 5 * 4 * 3 = 60 Möglichkeiten für dreistellige Zahlen. Insgesamt haben wir also 6 (einstellige) + 20 (zweistellige) + 60 (dreistellige) = 86 Möglichkeiten. Aufgabenteil b: Wir sollen die Zahlen, die gebildet werden können, in einer kurzen Übersicht darstellen. Dafür würde man typischerweise eine Liste oder Tabelle schreiben, die alle Zahlen zeigt, die nach den gegebenen Regeln erstellt werden können. Da dies jedoch eine längere Liste wäre, verzichte ich darauf, alle Zahlen hier aufzulisten und erwähne nur beispielhaft einige Zahlen für jede Kategorie: - Einstellig: 0, 1, 2, 3, 4, 5 - Zweistellig: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45, ... (und so weiter) - Dreistellig: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345, ... (und so weiter) Dies gibt einen Einblick in die systematische Vorgehensweise, aber die vollständige Liste aller 86 Möglichkeiten wäre umfangreicher.
Calculating the Number of Team Combinations for a Sports Competition
Die gegebene Aufgabe lautet: "In einer Sportmannschaft sind 15 Sportler. Zu einem Wettkampf sollen ein 4er Team antreten. Wie viele Möglichkeiten hat der Trainer, um sein Wettkampfteam zusammen zu stellen?" Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, wie man 4 Sportler aus der Gruppe von 15 auswählen kann. Das ist ein Kombinatorikproblem, das wir mit der Kombinationsformel lösen können: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] Hier steht \( n \) für die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte (in diesem Fall Sportler), und \( k \) steht für die Anzahl der Objekte, die ausgewählt werden sollen. Die Formel für unser Problem sieht also wie folgt aus: \[ C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15 - 4)!} = \frac{15!}{4!11!} \] Dann berechnen wir: \[ C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \] Das Kürzen ergibt dann: \[ C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{15}{3} \times \frac{14}{2} \times 13 \times 12 = 5 \times 7 \times 13 \times 12 \] \[ C(15, 4) = 5 \times 7 \times 13 \times 12 = 35 \times 156 = 5460\] Der Trainer hat also 5460 verschiedene Möglichkeiten, sein Wettkampfteam aus 4 Sportlern zusammenzustellen.
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