Example Question - natural numbers
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Natural Numbers with Four Positive Divisors
<p>To find natural numbers with exactly four positive divisors less than 65, we must identify the form of such numbers. A natural number can have exactly four positive divisors if it is in one of the following forms:</p> <p>1. The square of a prime number: \( p^2 \)</p> <p>2. The product of two distinct prime numbers: \( p \times q \)</p> <p>Now, we will find numbers less than 65 for each case.</p> <p>1. For \( p^2 \): The prime numbers less than 8 (since \( 8^2 = 64 \)) are 2, 3, 5, and 7.</p> <p>- \( 2^2 = 4 \)</p> <p>- \( 3^2 = 9 \)</p> <p>- \( 5^2 = 25 \)</p> <p>- \( 7^2 = 49 \)</p> <p>The valid numbers are 4, 9, 25, and 49.</p> <p>2. For \( p \times q \): We consider pairs of primes less than 65:</p> <p>- \( 2 \times 3 = 6 \)</p> <p>- \( 2 \times 5 = 10 \)</p> <p>- \( 2 \times 7 = 14 \)</p> <p>- \( 2 \times 11 = 22 \)</p> <p>- \( 2 \times 13 = 26 \)</p> <p>- \( 2 \times 17 = 34 \)</p> <p>- \( 2 \times 19 = 38 \)</p> <p>- \( 2 \times 23 = 46 \)</p> <p>- \( 2 \times 29 = 58 \)</p> <p>- \( 3 \times 5 = 15 \)</p> <p>- \( 3 \times 7 = 21 \)</p> <p>- \( 3 \times 11 = 33 \)</p> <p>- \( 3 \times 13 = 39 \)</p> <p>- \( 3 \times 17 = 51 \)</p> <p>- \( 3 \times 19 = 57 \)</p> <p>- \( 5 \times 7 = 35 \)</p> <p>- \( 5 \times 11 = 55 \)</p> <p>- \( 5 \times 13 = 65 \) (not valid)</p> <p>- \( 7 \times 11 = 77 \) (not valid)</p> <p>The valid products are 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, and 58.</p> <p>The complete list of natural numbers less than 65 with exactly four positive divisors is: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 34, 35, 38, 39, 49, 51, 55, 57, and 58.</p> <p>Counting these, we have a total of 18 numbers.</p> <p>Thus, the answer is 18.</p>
Recursive Sequence Calculation
Pour la première suite : <p>u_0 = 2</p> <p>u_{n+1} = 3u_n - 4n</p> <p>u_1 = 3u_0 - 4 \cdot 0 = 3 \cdot 2 - 0 = 6</p> <p>u_2 = 3u_1 - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 6 - 4 = 18 - 4 = 14</p> <p>u_3 = 3u_2 - 4 \cdot 2 = 3 \cdot 14 - 8 = 42 - 8 = 34</p> Pour la deuxième suite : <p>u_0 = 0</p> <p>u_{n+1} = u_n^2 + \frac{1}{2n + 1}</p> <p>u_1 = u_0^2 + \frac{1}{2 \cdot 0 + 1} = 0^2 + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1</p> <p>u_2 = u_1^2 + \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = 1^2 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}</p> <p>u_3 = u_2^2 + \frac{1}{2 \cdot 2 + 1} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{5} = \frac{16}{9} + \frac{1}{5} = \frac{80}{45} + \frac{9}{45} = \frac{89}{45}</p>
Finding the Median of a Set of Numbers
Dựa vào ảnh bạn cung cấp, đây là một câu hỏi toán học với nội dung: "Cho tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số là {10; 12; 14; 15; 17; 18; 19; 24}. Trung vị của nó là số nào sau đây?" Để tìm trung vị của một tập hợp có số phần tử chẵn, bạn cần sắp xếp tập hợp đó theo thứ tự tăng dần và lấy trung bình cộng của hai số nằm ở giữa tập hợp. Tập hợp đã được cho sẵn theo thứ tự tăng dần là: {10; 12; 14; 15; 17; 18; 19; 24}. Có 8 phần tử trong tập hợp, vì vậy hai số nằm ở giữa là số thứ tư (15) và số thứ năm (17). Tính trung bình cộng của hai số này: (15 + 17) / 2 = 32 / 2 = 16. Vậy, trung vị của tập hợp các số này là 16.
Finding Two-Digit Numbers with Sum of Digits
Hình ảnh bạn cung cấp có câu hỏi toán học với nội dung: "Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà tổng hai chữ số đó đều là 8?" Để giải quyết câu hỏi, ta cần tìm tất cả các cặp số tự nhiên mà tổng của chúng bằng 8, và mỗi số trong cặp phải là một chữ số (từ 0 đến 9, vì ta đang tìm số có hai chữ số). Cặp số đầu tiên có thể là: (1, 7), vì 1+7=8. Ngoài ra, ta có các cặp số khác như: (2, 6), vì 2+6=8. (3, 5), vì 3+5=8. (4, 4), vì 4+4=8. (5, 3), vì 5+3=8. (6, 2), vì 6+2=8. (7, 1), vì 7+1=8. Tuy nhiên, cặp số (0, 8) và (8, 0) không thể dùng, vì số có hai chữ số không bắt đầu bằng 0. Như vậy có tổng cộng 7 cặp số thỏa mãn, mỗi cặp tạo thành một số tự nhiên có hai chữ số với tổng của hai chữ số là 8. Vậy đáp án là: 7.
Understanding Types of Numbers
La imagen muestra una lista con tres tipos de números, los cuales son: 1. Número natural 2. Número entero 3. Número racional Vamos a definir cada uno de ellos: - **Número natural**: Son los números que se utilizan para contar los elementos de un conjunto, es decir, son los enteros positivos (1, 2, 3, ...) incluyendo a veces el cero dependiendo de la definición. - **Número entero**: Incluye a los números naturales, sus opuestos negativos (-1, -2, -3, ...) y además el número cero. Es decir, cualquier número que no tenga componentes fraccionarios o decimales. - **Número racional**: Son todos los números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, donde el numerador es un entero y el denominador es un entero no cero. Esto incluye a los números enteros y también a los números fraccionarios y decimales que tienen un finito o un periodo infinito recurrente después de la coma decimal. Cada conjunto se encuentra dentro del siguiente en términos de inclusión, es decir, todos los números naturales son enteros, y a su vez, todos los números enteros son racionales.
Understanding Natural, Integer, and Factorial Numbers
Claro, te ayudaré a definir lo que es un "número natural", un "número entero" y un "número factorial". 1. Números naturales: Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un conjunto. Son todos los números positivos enteros sin incluir el cero. Comienzan desde el 1 y avanzan indefinidamente: 1, 2, 3, 4, 5, ... 2. Números enteros: Este conjunto incluye a todos los números naturales, sus opuestos negativos y el número cero. Es decir, los números enteros pueden ser positivos, negativos o cero. Por ejemplo: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 3. Número factorial: El factorial de un número natural n, expresado como n!, es el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n. Por ejemplo, el factorial de 5 (5!) es 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. Se define que el factorial de 0 es 1, o sea, 0! = 1.
Proof of Multiplicative Property of Divisors
Die Aufgabe lautet, ob für alle natürlichen Zahlen gilt, dass wenn a ein Teiler von b ist und a ein Teiler von c ist, folgt daraus, dass a auch ein Teiler von bc ist. Zum Beweisen dieser Aussage können wir die Definition eines Teilers nutzen: Wenn a ein Teiler von b ist, dann gibt es eine natürliche Zahl k, so dass b = ak. Ebenso, wenn a ein Teiler von c ist, dann gibt es eine natürliche Zahl l, so dass c = al. Nun betrachten wir das Produkt bc: bc = (ak)(al) = a(ka)l Da ka und l natürliche Zahlen sind, ist ihr Produkt ebenfalls eine natürliche Zahl. Nennen wir dieses Produkt m, also m = ka * l. Wir können nun schreiben: bc = a * m Das zeigt, dass a tatsächlich ein Teiler von bc ist, weil bc als Produkt von a mit einer anderen natürlichen Zahl m geschrieben werden kann. Damit haben wir den Beweis erbracht. Die Aussage ist wahr: Wenn a ein Teiler von b und gleichzeitig ein Teiler von c ist, dann ist a auch ein Teiler des Produktes bc für alle natürlichen Zahlen a, b und c.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com