Simplification of a Square Root Expression
Bien sûr, procédons à la simplification de l'expression donnée par étapes. Le nombre \( A \) est défini comme suit:
\[ A = \frac{\sqrt{32} \times \sqrt{27} \times \sqrt{108}}{\sqrt{6}} \]
Avant de simplifier, rappelons que lorsque l’on multiplie des racines carrées, on peut combiner les termes sous une seule racine. C’est-à-dire que \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \).
1. Multiplions d’abord les nombres sous les racines carrées:
\[ A = \frac{\sqrt{32 \times 27 \times 108}}{\sqrt{6}} \]
2. Ensuite, calculez le produit de 32, 27, et 108:
\[ 32 \times 27 \times 108 = 93312 \]
3. Remplacez ce produit dans la racine carrée:
\[ A = \frac{\sqrt{93312}}{\sqrt{6}} \]
4. Maintenant, décomposons 93312 et 6 en facteurs premiers pour simplifier la racine carrée:
\[ 93312 = 2^{6} \times 3^{3} \]
\[ 6 = 2^1 \times 3^1 \]
5. Réécrivons l'expression en utilisant ces facteurs premiers:
\[ A = \frac{\sqrt{2^{6} \times 3^{3}}}{\sqrt{2 \times 3}} \]
6. Nous pouvons maintenant simplifier la fraction en annulant les racines communes:
\[ A = \frac{2^{6/2} \times 3^{3/2}}{2^{1/2} \times 3^{1/2}} \]
7. Simplifions les exposants:
\[ A = 2^{3} \times 3^{\frac{3}{2}} \div 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} \]
\[ A = 2^{3 - \frac{1}{2}} \times 3^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \]
\[ A = 2^{\frac{5}{2}} \times 3^1 \]
8. Pour finir, calculez les valeurs finales et convertissez les racines carrées en leur forme exponentielle:
\[ A = 2^2 \times 2^{\frac{1}{2}} \times 3 \]
\[ A = 4 \times \sqrt{2} \times 3 \]
9. Enfin, multiplions les nombres entiers:
\[ A = 12\sqrt{2} \]
La valeur simplifiée de \( A \) est donc \( 12\sqrt{2} \).
