Example Question - mixed partial derivatives
Here are examples of questions we've helped users solve.
Partial Derivatives of the Function
题目要求我们计算函数 \( z = x\ln(y) \) 的混合偏导数 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} \) 和 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2} \)。 首先，我们需要找到 \( z \) 关于 \( x \) 和 \( y \) 的一阶偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \ln(y) \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{y} \] 然后，我们对第一个偏导数 \( \frac{\partial z}{\partial x} \) 分别对 \( x \) 和 \( y \) 求导： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\ln(y)) = \frac{1}{y} \] 因为 \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0 \)， 所以 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} = 0 \)。 再对 \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{y} \) 关于 \( y \) 求导： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{x}{y}\right) = -\frac{x}{y^2} \] 然后对这个结果关于 \( x \) 求导： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{1}{y^2} \] 所以， \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} : \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2} = 0 : -\frac{1}{y^2} \] 既然 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} = 0 \)，这个比值就是未定义的，因为我们不能除以零。所以最后的结果是未定义的。
Analysis of Mixed Partial Derivatives in ln(xy) Function
这个问题要求我们找到两个三阶混合偏导数的比值。该函数为z = ln(xy)。 首先，我们需要找到∂^3z/∂x^2∂y。为此，我们对z先对x求两次偏导，再对y求一次偏导。 ∂z/∂x = 1/x, 因为ln(xy)对x的偏导是y/(xy)。 ∂^2z/∂x^2 = -1/x^2，对1/x再次对x求偏导。 然后我们对该项对y求偏导: ∂^3z/∂x^2∂y = 0，因为-1/x^2与y无关，其对y的偏导数为0。 之后，我们需要计算∂^3z/∂x∂y^2。首先我们对z先对y求两次偏导，再对x求一次偏导。 ∂z/∂y = 1/y，同理，因ln(xy)对y的偏导是x/(xy)。 ∂^2z/∂y^2 = -1/y^2，对1/y再次对y求偏导。 再将此项对x求偏导: ∂^3z/∂x∂y^2 = 0，因为-1/y^2与x无关，其对x的偏导数为0。 所以，两个偏导数都是0。这意味着给定的比值为： ∂^3z/∂x^2∂y / ∂^3z/∂x∂y^2 = 0/0 然而，在数学上，0除以0是不确定的形式（indeterminate form），不能简单地说这个比值等于1。在这样的情况下，我们通常需要更多的上下文或者是使用极限等方法来解决这种不确定性。但根据题目里的信息，我们并不能进一步确定这个比值的确切数值。
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com