Solving a First-Order Linear Differential Equation
<p>Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son que se puedan expresar en la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \).</p>
<p>La ecuación \( \frac{dy}{dx} = y - x^2 \sin x \) puede reescribirse como \( \frac{dy}{dx} - y = -x^2 \sin x \) para ponerla en la forma estándar.</p>
<p>Tenemos \( P(x) = -1 \) y \( Q(x) = -x^2 \sin x \).</p>
<p>Calculamos el factor integrante \( \mu(x) \), el cual es dado por \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{-\int dx} = e^{-x} \).</p>
<p>Multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial por \( \mu(x) \):</p>
<p>\( e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = -x^2 e^{-x} \sin x \).</p>
<p>La izquierda de la ecuación ahora es la derivada de \( y \cdot \mu(x) \), o sea:</p>
<p>\( \frac{d}{dx}(y e^{-x}) = -x^2 e^{-x} \sin x \).</p>
<p>Integramos ambos lados en cuanto a \( x \) para obtener \( y \):</p>
<p>\( y e^{-x} = \int -x^2 e^{-x} \sin x \, dx \).</p>
<p>Esta integral es complicada y a menudo requiere la integración por partes o el uso de una tabla de integrales. Sin embargo, el propósito aquí es explicar el método, no realizar la integración compleja. Suponiendo que hagamos esta integral, denotamos la antiderivada como \( I(x) \).</p>
<p>Entonces:</p>
<p>\( y e^{-x} = I(x) + C \), donde \( C \) es la constante de integración.</p>
<p>Resolvemos para \( y \):</p>
<p>\( y = e^{x}(I(x) + C) \).</p>
<p>Donde \( I(x) \) es la integral de \( -x^2 e^{-x} \sin x \) con respecto a \( x \) y \( C \) es la constante de integración.</p>
