Method for Solving First Order Linear Differential Equations
<p>Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son:</p>
<p>- La ecuación debe tener la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \), donde \( P(x) \) y \( Q(x) \) son funciones de \( x \).</p>
<p>La ecuación dada está en la forma \( \frac{dy}{dx} - y = x \cdot sen(x) \), que es una ecuación lineal de primer orden.</p>
<p>Identificamos \( P(x) = -1 \) y \( Q(x) = x \cdot sen(x) \).</p>
<p>Para resolver la ecuación, primero encontramos el factor integrante:</p>
<p>\( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int dx} = e^{-x} \).</p>
<p>Multipliquemos ambos lados de la ecuación por \( \mu(x) \) para obtener:</p>
<p>\( e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} \).</p>
<p>La izquierda ahora es la derivada del producto de \( y \) y \( \mu(x) \):</p>
<p>\( \frac{d}{dx}(e^{-x}y) = x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} \).</p>
<p>Integramos ambos lados respecto a \( x \):</p>
<p>\( \int \frac{d}{dx}(e^{-x}y)dx = \int x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} dx \).</p>
<p>\( e^{-x}y = \int x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} dx \).</p>
<p>El lado derecho requiere integración por partes dos veces. Sea \( u = x \) y \( dv = sen(x) \cdot e^{-x} dx \), entonces \( du = dx \) y \( v = - cos(x) \cdot e^{-x} - \int -cos(x) \cdot e^{-x} dx \), donde la segunda integral también se calcula por partes.</p>
<p>Por lo tanto, al resolver las integrales por partes, obtenemos:</p>
<p>\( e^{-x}y = -x \cdot cos(x) \cdot e^{-x} + \int cos(x) \cdot e^{-x} dx - \int -cos(x) \cdot e^{-x} dx \).</p>
<p>Resolviendo las integrales y simplificando, llegamos a:</p>
<p>\( e^{-x}y = -x \cdot cos(x) \cdot e^{-x} + \text{(términos de la integración por partes)} \).</p>
<p>Finalmente, despejamos \( y \):</p>
<p>\( y = e^{x} \left( -x \cdot cos(x) \cdot e^{-x} + \text{(términos de la integración por partes)} \right) \).</p>
<p>Este es el resultado general de \( y(x) \), sujeta a la simplificación de los términos resultantes de la integración por partes.</p>
