Calculating Confidence Interval for Mean Diameter of Machine-Produced Parts
Para resolver este problema necesitamos calcular el intervalo de confianza para la media del diámetro de las piezas producidas por la máquina. Dado que estamos tratando con una muestra pequeña (n = 9), usaremos la distribución t de Student para calcular el intervalo de confianza del 95%. Aquí están los pasos:
1. Calcular la media (\(\bar{x}\)) de los diámetros.
2. Calcular la desviación estándar (s) de la muestra.
3. Determinar el valor crítico de t (t*) para una confianza del 95% con n-1 grados de libertad (en este caso, 8 grados de libertad).
4. Calcular el margen de error utilizando la fórmula \(t* \times \frac{s}{\sqrt{n}}\).
5. Establecer el intervalo de confianza usando la fórmula \(\bar{x} \pm \text{margen de error}\).
Primero calculamos la media:
\[
\bar{x} = \frac{1.01 + 0.97 + 1.03 + 1.04 + 0.99 + 0.98 + 0.99 + 1.01 + 1.03}{9} = \frac{9.05}{9} \cong 1.0056 \text{ cm}
\]
Luego, calculamos la desviación estándar de la muestra (usamos la fórmula de la desviación estándar muestral, que tiene \(n-1\) en el denominador):
\[
s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
\]
Calculamos la suma de las diferencias al cuadrado:
\[
\sum{(x_i - \bar{x})^2} \approx (1.01 - 1.0056)^2 + (0.97 - 1.0056)^2 + \ldots + (1.03 - 1.0056)^2 \cong 0.0015
\]
Y luego la desviación estándar:
\[
s \cong \sqrt{\frac{0.0015}{8}} \cong 0.0137 \text{ cm}
\]
Buscamos el valor crítico de t para una confianza del 95% y 8 grados de libertad. Este valor se encuentra en tablas de la distribución t de Student o se puede calcular con software estadístico. Por ejemplo, el valor podría ser aproximadamente 2.306.
Ahora, calculamos el margen de error:
\[
\text{Margen de error} = t* \times \frac{s}{\sqrt{n}} \cong 2.306 \times \frac{0.0137}{\sqrt{9}} \cong 2.306 \times 0.0046 \cong 0.0106 \text{ cm}
\]
Finalmente, el intervalo de confianza del 95% para el diámetro promedio de las piezas es:
\[
\bar{x} \pm \text{Margen de error} \cong 1.0056 \pm 0.0106 \cong (0.995, 1.0162) \text{ cm}
\]
En conclusión, el intervalo de confianza del 95% para el diámetro promedio de las piezas producidas por la máquina es aproximadamente de 0.995 cm a 1.0162 cm.
