Example Question - matrix algebra
Here are examples of questions we've helped users solve.
Determining the Scalar Multiple of a Matrix
<p>To solve for \( \alpha \), we need to set up an equation based on the given matrix equality:</p> <p>\( \alpha^2 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -10 & 2 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix} + 3X \)</p> <p>We can see that the matrix \( X \) is also the matrix we are multiplying by \( \alpha^2 \). So, let's denote it as \( X \) and find \( 3X \):</p> <p>\( 3X = 3 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)</p> <p>Now, let's put \( 3X \) back into the matrix equality and compare the corresponding entries:</p> <p>\( \alpha^2 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -10 & 2 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)</p> <p>Thus, we obtain the following matrix equation:</p> <p>\( \begin{bmatrix} \alpha^2 + 3 & 2\alpha^2 + 1 & 3\alpha^2 + 2 \\ 0 & \alpha^2 - 10 & 2\alpha^2 + 2 \\ 0 & 0 & \alpha^2 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 + 3 & -10 + 6 & 2 + 9 \\ 0 & -6 + 3 & 2 + 6 \\ 0 & 0 & 2 + 3 \end{bmatrix} \)</p> <p>\( \begin{bmatrix} \alpha^2 + 3 & 2\alpha^2 + 1 & 3\alpha^2 + 2 \\ 0 & \alpha^2 - 10 & 2\alpha^2 + 2 \\ 0 & 0 & \alpha^2 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -4 & 11 \\ 0 & -3 & 8 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \)</p> <p>By comparing the corresponding entries, we can now write a system of equations. For instance, by comparing the (1,1) entries, we have:</p> <p>\( \alpha^2 + 3 = 8 \)</p> <p>\( \alpha^2 = 5 \)</p> <p>\( \alpha = \pm \sqrt{5} \)</p> <p>Since \( \alpha \) has been determined from the first entry, we do not need to proceed with the rest, as it will be the same for all corresponding entries.</p> <p>The principal square root is often taken as the solution for \( \alpha \), thus:</p> <p>\( \alpha = \sqrt{5} \)</p>
Matrix Multiplication: Determining Valid Matrix Sizes
حسنًا، بالنسبة للسؤال الثاني، المطلوب هو تحديد أمر (عدد الصفوف والأعمدة) المصفوفة B التي ستجعل ناتج ضرب A×B غير معرف. قاعدة ضرب المصفوفات تقول أنه يمكن ضرب مصفوفتين A وB إذا كان عدد الأعمدة في A يساوي عدد الصفوف في B. مصفوفة A لها أمر 2×4 (2 صفوف و4 أعمدة)، لذلك، المصفوفة B يجب أن تكون لديها 4 صفوف لكي يكون ضربها ممكنًا. الخيارات المعروضة هي: أ) 4×3 ب) 2×3 ج) 4×2 الخيار الذي سيجعل ضرب A×B غير معرف هو الخيار الذي فيه عدد الصفوف في B لا يساوي 4. الخياران أ) وج) لديهما 4 صفوف ولذلك ضربهما بالمصفوفة A سيكون معرف. بالتالي، الإجابة الصحيحة هي: ب) 2×3 لأن المصفوفة B مع أمر 2×3 لديها عدد صفوف يساوي 2 وليس 4، وبالتالي ضرب A×B غير معرف في هذه الحالة.
Solving a Matrix Equation for x and y
You want to solve the matrix equation to find the values of x and y. The equation is given as: \[ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & x \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & 10 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \] To find the values of x and y, you need to multiply the first two matrices and set the resulting matrix equal to the one with y and x: First, compute the product of the two matrices on the left side: \[ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & x \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(1) + 2(0) & 4(2) + 2(1) \\ -2(1) + x(0) & -2(2) + x(1) \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 4 & 8 + 2 \\ -2 & -4 + x \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ -2 & x - 4 \end{pmatrix} \] Now, equate this resulting matrix to the matrix on the right side of the equation and solve for x and y: \[ \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ -2 & x - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & 10 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \] For the matrices to be equal, their corresponding elements must be equal, so: \[ y = 4 \quad \text{and} \quad x - 4 = 4 \] From the second equation: \[ x = 4 + 4 \] \[ x = 8 \] Therefore, the values of x and y are 8 and 4, respectively.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com