Example Question - mathematical understanding
Here are examples of questions we've helped users solve.
Comparison of Subtraction Techniques: Bundling and Expanding
Die Frage bezieht sich auf zwei Techniken bei der schriftlichen Subtraktion, nämlich das Entbündeln (manchmal auch "Borgen" genannt) und das Erweitern (auch "Ergänzen" genannt). Ich werde beide Techniken anhand eines Beispiels charakterisieren und Argumente dafür bzw. dagegen erläutern. a) Um das Entbündeln und das Erweitern zu charakterisieren, verwenden wir das Beispiel der Subtraktion 704 - 258. Entbündeln: Beim Entbündeln wird eine höhere Stelle "gebündelt" oder "geborgt", um eine Subtraktion an der nächsten niedrigeren Stelle durchführen zu können. Hier ist das schrittweise Vorgehen: 1. Wir beginnen mit der Subtraktion in der Spalte ganz rechts, der Einer. Weil 4 kleiner als 8 ist, können wir nicht subtrahieren, ohne "zu borgen". 2. Also borgen wir 10 von der nächsten Stelle links (den Zehnern) und fügen sie zu den Einern hinzu. Jetzt haben wir 14 - 8, was 6 ergibt. 3. Nach dem Borgen haben wir 0 Zehner an der mittleren Stelle (70 wurde zu 60), und wir müssen 5 von 0 subtrahieren. Wir müssen wieder borgen. 4. Wir nehmen 1 von den Hundertern (700 wird zu 600) und fügen den geborgten Hunderter zu den Zehnern hinzu, was zu 10 Zehnern führt. Jetzt können wir 10 - 5 rechnen, das Ergebnis ist 5. 5. Schließlich subtrahieren wir die Hunderter: 6 - 2, was zu 4 führt. Die Antwort ist 446. Erweitern: Beim Erweitern (Ergänzen) wird nicht geborgt, sondern es wird gerechnet, wie viel zu einer Zahl hinzugefügt werden muss, um eine andere zu erreichen. 1. Wie viel muss zu 8 addiert werden, um 4 zu erreichen? Da dies nicht möglich ist, sehen wir uns die Zehner an. 2. Wir "erweitern" die 8 um 10 (indem wir annehmen, dass wir 10 zu den Einern hinzufügen), was 18 ergibt. Wie viel muss zu 18 addiert werden, um 4 zu erreichen? 18 + 6 = 24, aber wir können nicht mehr als 10 hinzufügen, also ist dies falsch. Richtig ist, dass zu 8 muss 6 hinzugefügt werden, um 14 zu erreichen (4 und ein "Übertrag" von 1 zu den Zehnern). 3. Nun fügen wir 1 zu den Zehnern hinzu (wegen des Übertrags) und sehen uns die Zehner an: 5 + 1 + wie viel ergibt 0? Das ist 4, weil 5 + 1 + 4 = 10. 4. Jetzt sehen wir uns die Hunderter an: 2 + wie viel ergibt 7? Das ist 5, weil 2 + 5 = 7. Die Antwort ist ebenfalls 446. b) Argumente für das Entbündeln: - Es entspricht einem logischen Verfahren, das leicht zu visualisieren ist (man nimmt 'physisch' etwas von einem Bündel und fügt es einem anderen hinzu). - Es wird oft in der Schule gelehrt und ist eine gängige Methode, die viele Schüler verstehen. Argumente gegen das Entbündeln: - Es kann für manche Schüler verwirrend sein, zu verfolgen, was wo "geborgt" wurde. - Es kann zu Fehlern führen, wenn Schüler vergessen, dass sie geborgt haben oder bei welcher Stelle sie geborgt haben. Argumente für das Erweitern: - Es fördert das Verständnis für Zahlbeziehungen und das Rechnen in Einheiten. - Es kann intuitive mathematische Denkprozesse unterstützen. Argumente gegen das Erweitern: - Es kann schwieriger zu verstehen sein, da es im Gegensatz zum Entbündeln nicht direkt das "Wegnehmen" darstellt. - Weniger intuitive Zahlenräume (wie die Einer zu den Zehnern) können für verwirrende Überträge sorgen. Als Zusammenfassung: Beide Methoden führen zum richtigen Ergebnis, haben aber unterschiedliche Vorgehensweisen und können abhängig von den Vorlieben und dem Verständnisniveau der Schüler unterschiedlich gut geeignet sein.
Enhancing Addition Understanding with Multiple Strategies
Das Bild zeigt eine Übungsaufgabe, in der verschiedene Strategien zur Addition im Zahlenraum bis 20 vorgestellt und geübt werden sollen. Die Aufgabe fordert, für jede der gegebenen Additionsaufgaben verschiedene Lösungswege zu finden, diese zunächst mit Wendepflästchen zu legen, dann auf dem Zwanzigerfeld zu veranschaulichen und schließlich die Zahlenstrategie zu benennen. Beginnen wir mit der ersten Additionsaufgabe: 6 + 7: Eine mögliche Vorgehensweise wäre, zu der Zahl 6 die Zahl 4 zu addieren, um auf 10 zu kommen, und dann die restlichen 3 dazu zu zählen. Dies könnte man als "Ergänzen zur nächsten Zehnerzahl" bezeichnen. 9 + 7: Hier könnte man die Strategie anwenden, von der 7 eine 1 wegzunehmen und zur 9 dazuzugeben, um zuerst den Summanden 10 (9 + 1) zu erhalten und dann die verbleibenden 6 dazuzuzählen. Das wäre eine Art des "Umgruppierens" oder "Ausgleichens". 13 + \( \overset{?}{\square} \) : Für diese Aufgabe müsste man wissen, was im Quadrat steht, um eine Strategie vorzuschlagen. Da keine Zahl angegeben ist, kann die Strategie nicht genau bestimmt werden. Eine allgemeine Strategie könnte es sein, den zweiten Summanden so aufzuteilen, dass man zuerst zu einer vollen Zehnerzahl ergänzt (z.B. wenn \( \overset{?}{\square} \) = 7 wäre, dann 13 + 7 = 13 + (7 - 3) + 3 = 20 + 3 = 23). 9 + 5: Eine Strategie könnte sein, 1 von der 5 zur 9 zu zählen, um die volle Zehnerzahl 10 zu erreichen und dann die verbleibenden 4 hinzuzufügen. Dies wäre wiederum eine "Umgruppierung", um leichter auf die nächste Zehnerzahl zu kommen. Zusammengefasst: Die Aufgabe zielt darauf ab, das konzeptuelle Verständnis von Addition durch das Finden verschiedener Wege zu stärken anstatt nur die reine Rechenkompetenz zu fördern. Indem unterschiedliche Strategien geübt werden, entwickeln Schülerinnen und Schüler ein tieferes Verständnis für Zahlen und deren Beziehungen untereinander.
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