Example Question - mathematical solutions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analysis of Quadratic Functions
<p>Given the quadratic function \( y = ax^2 + bx + c \), we want to determine if the quadratic \( (P) \) can be formed from the parameters \( a \neq 0 \). This involves calculating the expression \( \frac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \), where \( \Delta = b^2 - 4ac \).</p> <p>To derive the vertex form, we need to ensure that \( \Delta \) is non-negative, leading to real roots that allow for the graphical representation of the quadratic function.</p>
Calculating Permutations and Combinations for Different Design Scenarios
Um die Lösungen für die beiden Fragen in der Abbildung zu finden, schauen wir uns zunächst jede Frage einzeln an: e. Herr Meier möchte auch einen Pullover stricken. Er hat genau wie seine Frau fünf Farben zur Auswahl. Allerdings möchte Herr Meier nicht, dass sich eine Farbe wiederholt. Wie viele unterschiedliche Pullover kann Herr Meier stricken? Diese Frage bezieht sich auf Kombinationen ohne Wiederholungen. Da Herr Meier insgesamt fünf verschiedene Farben hat und er jede Farbe nur einmal verwenden möchte, ist dies eine Kombination ohne Wiederholung, oder eine Permutation, da die Reihenfolge, in der die Farben ausgewählt werden, von Bedeutung ist. Die Anzahl der möglichen Permutationen von n Elementen ist n! (n Fakultät), was bedeutet, dass wir das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu n nehmen. Für Herrn Meier bedeutet das 5! (5 Fakultät): 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Herr Meier kann also 120 unterschiedliche Pullover stricken. f. Familie Meier möchte ihren Garten neu gestalten. Dafür möchten die Meiers einen Zaun, einen Baum, drei gleiche Blumenkübel und drei gleiche Blumen für in die Kübel kaufen. Im Baumarkt gibt es 3 unterschiedliche Zäune, 15 Bäume, 4 unterschiedliche Blumenkübel und 20 Blumen sorten. Wie viele Gestaltungsmöglichkeiten hat Familie Meier? Hier müssen wir das Produkt aus den Anzahlen der Auswahlmöglichkeiten für jeden Artikel nehmen, da jede Wahl unabhängig von den anderen ist (dies ist das Prinzip der Produktregel). Für den Zaun gibt es 3 Möglichkeiten, für den Baum gibt es 15 Möglichkeiten, für die Blumenkübel gibt es 4 Möglichkeiten (und da alle drei gleich sein sollen, wählen wir nur einmal), für die Blumensorten gibt es 20 Möglichkeiten (auch hier wählen wir nur einmal, da alle drei Blumen gleich sein sollen). Also multiplizieren wir die Anzahlen: 3 Zäune × 15 Bäume × 4 Blumenkübel × 20 Blumenarten = 3 × 15 × 4 × 20 = 3600 Familie Meier hat also 3600 verschiedene Gestaltungsmöglichkeiten für ihren Garten.
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