Determining GCD and LCM Using Hasse Diagrams
Die Aufgabe in dem Bild lautet:
"Aufgabe 6: Hasse-Diagramme, ggT und kgV
Bestimmen Sie den ggT und das kgV der Zahlen 40 und 50 mit Hilfe eines Hasse-Diagramms. Beschriften Sie das Hasse-Diagramm vollständig."
Beginnen wir mit der Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) für die Zahlen 40 und 50.
Zuerst zerlegen wir beide Zahlen in ihre Primfaktoren:
- 40 = 2^3 * 5
- 50 = 2 * 5^2
Der ggT ist das Produkt aller Primfaktoren, die die Zahlen gemeinsam haben, jeweils in der niedrigsten Potenz, die in beiden Zerlegungen vorkommt.
- ggT(40, 50) = 2 * 5 = 10
Das kgV ist das Produkt aller Primfaktoren, die in wenigstens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, jeweils in der höchsten vorkommenden Potenz.
- kgV(40, 50) = 2^3 * 5^2 = 8 * 25 = 200
Für das Hasse-Diagramm beginnen wir, indem wir die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen darstellen und die Zahlen in einer teilweisen Ordnung anordnen, sodass Faktoren, die Teiler anderer Faktoren sind, tiefer im Diagramm stehen.
Ein mögliches Hasse-Diagramm könnte so aussehen (von unten nach oben, wobei jede höhere Ebene die Faktoren der darunterliegenden Ebene vervielfacht):
Unten: 1 (kein gemeinsamer Teiler außer 1)
Dann darüber: 2 (ggT von 40 und 50)
Dann darüber: 10 (ggT von 40 und 50 mit der 5 multipliziert)
Oben: 200 (kgV von 40 und 50)
Nur die Zahlen 1, 2, 10 und 200 müssten in dem Hasse-Diagramm beschriftet werden, mit Linien, die die Teilerbeziehungen (z.B. 1 zu 2, 2 zu 10 und 10 zu 200) symbolisieren.
