Mathematical Identity Verification
Die Aufgabe besteht darin, die angegebenen Gleichungen zu überprüfen und, falls sie korrekt sind, eine Verallgemeinerung für die behaupteten Identitäten anzugeben. Ich werde nun jede Gleichung einzeln überprüfen und entsprechend verallgemeinern.
1) \(\binom{49}{2} + \binom{49}{1} = \binom{50}{2}\)
Zuerst prüfen wir die Identität mit den konkreten Zahlen nach:
\(\binom{49}{2} = \frac{49 \cdot 48}{2 \cdot 1} = \frac{49 \cdot 24}{1}\)
\(\binom{49}{1} = 49\)
\(\binom{50}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2 \cdot 1} = \frac{25 \cdot 49}{1}\)
Addiert man nun \(\frac{49 \cdot 24}{1}\) und \(49\), erhält man \(\frac{49 \cdot 25}{1}\), was gleich \(\binom{50}{2}\) ist. Somit ist die angegebene Identität korrekt.
Verallgemeinerung:
\(\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}\)
2) \(\binom{5}{3} + 31 = 5^4 - \binom{5}{3}\)
Wir berechnen zuerst die beiden Seiten der Gleichung:
\(\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\)
\(5^4 = 625\)
Setzen wir nun die Werte ein:
\(10 + 31 = 625 - 10\)
\(41 = 615\)
Da 41 nicht gleich 615 ist, ist die behauptete Identität falsch und kann somit nicht verallgemeinert werden.
3) \(2 \cdot \binom{7}{3} = \binom{7}{1} + \binom{7}{2} + \binom{7}{3} + \binom{7}{3}\)
Die rechte Seite der Gleichung enthält zweimal den Term \(\binom{7}{3}\), wir können also schreiben:
\(2 \cdot \binom{7}{3} = \binom{7}{1} + \binom{7}{2} + 2 \cdot \binom{7}{3}\)
Wir berechnen die Binomialkoeffizienten:
\(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\)
\(\binom{7}{1} = 7\)
\(\binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\)
Setzen wir diese Werte ein:
\(2 \cdot 35 = 7 + 21 + 2 \cdot 35\)
Nun vereinfachen wir:
\(70 = 28 + 70\)
Da \(70 \neq 28 + 70\), ist die behauptete Identität ebenfalls falsch und kann nicht verallgemeinert werden.
