Solving a Chair Color Combination Problem
Hier ist die Lösung für das gegebene Problem:
a) Wenn jede Kombination erlaubt ist, d.h. auch viermal dieselbe Farbe, dann können wir jede der fünf verschiedenen Farben (Blau, Türkis, Lila, Gelb, Grün und Rot) für jede der vier Stuhlbeine auswählen. Da es für jedes Bein 5 Möglichkeiten gibt, und es insgesamt 4 Beine sind, ist die Anzahl der möglichen Kombinationen 5^4, also:
5 * 5 * 5 * 5 = 625 unterschiedliche Stühle.
b) Wenn höchstens drei Farben gleich sein sollen, müssen wir die Möglichkeiten, bei denen alle vier Farben gleich sind (also 5 Möglichkeiten), von der Gesamtzahl an Möglichkeiten, die wir in a) gefunden haben, abziehen. Also:
625 - 5 = 620 unterschiedliche Stühle.
c) Wenn genau vier verschiedene Farben verwendet werden sollen, müssen wir die vier Farben ohne Wiederholung auswählen. Es gibt fünf Farben, aus denen wir wählen können, und wir wollen vier davon ohne Wiederholung auswählen. Dies können wir durch eine Kombination ohne Wiederholung berechnen, die als 5 über 4, oder \(\binom{5}{4}\), geschrieben wird. Da \(\binom{5}{4}\) gleich 5 ist (da aus 5 Farben nur eine ausgewählt wird und die restlichen 4 verwendet werden), und da die Reihenfolge, in der die Farben auf die Beine aufgetragen werden, relevant ist (Unterscheidung durch Permutationen), multiplizieren wir die 5 Kombinationen mit der Anzahl der möglichen Permutationen von 4 Beinen, was 4! (4 Fakultät) ist.
\(\binom{5}{4} \cdot 4! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\) unterschiedliche Stühle mit genau vier verschiedenen Farben.
