Example Question - linear and quadratic equation

Determining Range of Slope for Intersection of Line and Curve

为了找到直线 y = mx - m 与曲线 y = 2x^2 + 3x - 3 在不同的两个点相交时的斜率 m 的取值范围，我们可以将两个方程等同起来来找出 x 的值。如果直线与曲线在两个不同点相交，那么由它们形成的方程会产生两个不同的实数解。下面用中文解答。 令直线与曲线的 y 值相等，得到以下等式： mx - m = 2x^2 + 3x - 3 将所有项移到等式一边来形成一个关于 x 的二次方程： 2x^2 + 3x - 3 - mx + m = 0 整理一下可得到： 2x^2 + (3-m)x + (m-3) = 0 为了使这个二次方程有两个不同的实数解，判别式（b^2 - 4ac）必须大于 0。带入 a = 2，b = 3-m 和 c = m-3 可得： (3-m)^2 - 4(2)(m-3) > 0 展开平方项和乘法得到： 9 - 6m + m^2 - 8m + 24 > 0 合并同类项得： m^2 - 14m + 33 > 0 这个不等式是一个开口向上的抛物线，我们需要找到使这个不等式成立的 m 值，即该抛物线在 x 轴上方的部分。为了确定这个范围，我们需要计算该二次方程的根。 抛物线与 x 轴交点的 m 值就是二次方程的根，我们通过求解二次方程来计算： m^2 - 14m + 33 = 0 求解这个二次方程，我们用配方法或公式法，得到： m = (14 ± √(14^2 - 4*1*33)) / (2*1) m = (14 ± √(196 - 132)) / 2 m = (14 ± √64) / 2 m = (14 ± 8) / 2 所以解为： m = (14 + 8) / 2 = 22 / 2 = 11 m = (14 - 8) / 2 = 6 / 2 = 3 因此，使 m^2 - 14m + 33 > 0 成立的 m 的取值范围是 m < 3 或 m > 11。这是直线 y = mx - m 与曲线 y = 2x^2 + 3x - 3 在不同的两点相交时 m 的取值范围。