Example Question - kirchhoff's laws
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Circuit Analysis Problem Solving
\begin{align*} // Utilizando as Leis de Kirchhoff e a Lei de Ohm, temos (nomenclaturas i1, i2 e i3 para as correntes, R para as resistências e V para a força eletromotriz): \\ // 1. Aplicando a Lei de Kirchhoff para a malha à esquerda: \\ & -V + i_1 R + i_2 R = 0 \\ & -24 + 7i_1 + 3i_2 = 0 \quad (1) \\ // 2. Aplicando a Lei de Kirchhoff para a malha à direita: \\ & -i_2 R + i_3 R + V = 0 \\ & -3i_2 + 2i_3 + 24 = 0 \quad (2) \\ // 3. A terceira equação vem do nó entre as três resistências, utilizando a Lei de Kirchhoff para correntes (soma das correntes que chegam é igual a soma das correntes que saem): \\ & i_1 = i_2 + i_3 \quad (3) \\ // Resolvendo o sistema de equações: \\ // De (3), temos i1 em termos de i2 e i3 \\ & i_1 = i_2 + i_3 \\ // Substituímos i1 nas equações (1) e (2): \\ & -24 + 7(i_2 + i_3) + 3i_2 = 0 \\ & -24 + 10i_2 + 7i_3 = 0 \quad (4) \\ & -3i_2 + 2i_3 + 24 = 0 \quad (2) \\ // Multiplicamos (2) por 5 e somamos com (4): \\ & -15i_2 + 10i_3 + 120 + 10i_2 + 7i_3 = 0 \\ & 17i_3 + 120 = 0 \\ & i_3 = -\frac{120}{17} A \\ // Agora substituímos i3 em (2) para encontrar i2: \\ & -3i_2 + 2\left(-\frac{120}{17}\right) + 24 = 0 \\ & -3i_2 -\frac{240}{17} + \frac{408}{17} = 0 \\ & -3i_2 + \frac{168}{17} = 0 \\ & i_2 = \frac{168}{17 \times 3} A \\ & i_2 = \frac{56}{17} A \\ // Por fim, usamos i2 e i3 para encontrar i1 através de (3): \\ & i_1 = i_2 + i_3 \\ & i_1 = \frac{56}{17} - \frac{120}{17} \\ & i_1 = -\frac{64}{17} A \\ // Portanto, os valores das correntes são: \\ & i_1 = -\frac{64}{17} A \text{ (corrente no ramo da esquerda)} \\ & i_2 = \frac{56}{17} A \text{ (corrente no ramo do meio)} \\ & i_3 = -\frac{120}{17} A \text{ (corrente no ramo da direita)} \end{align*}
Determining Currents in a Circuit with a Voltage Source and Multiple Resistors
Given \( V = 6V \), \( R1 = 1k\Omega \), \( R2 = 6k\Omega \), \( R3 = 6k\Omega \), \( R4 = 1k\Omega \), \( R5 = 10k\Omega \), \( R6 = 8k\Omega \), \( R7 = 2k\Omega \). First, find the equivalent resistance for resistors in series and parallel. Since \( R4 \) and \( R5 \) are in series, their equivalent resistance, \( R_{45} \), is: \( R_{45} = R4 + R5 = 1k\Omega + 10k\Omega = 11k\Omega \) Resistors \( R3 \), \( R_{45} \), and \( R6 \) are parallel, which means their combined equivalent resistance, \( R_{3456} \), is found using the formula: \[ \frac{1}{R_{3456}} = \frac{1}{R3} + \frac{1}{R_{45}} + \frac{1}{R6} = \frac{1}{6k\Omega} + \frac{1}{11k\Omega} + \frac{1}{8k\Omega} \] Solving for \( R_{3456} \): \[ R_{3456} = \frac{1}{(\frac{1}{6} + \frac{1}{11} + \frac{1}{8}) k\Omega^{-1}} \approx 2.97k\Omega \] Now, \( R2 \), \( R_{3456} \), and \( R7 \) are in series, so the total resistance \( R_{T} \) is: \( R_{T} = R1 + R2 + R_{3456} + R7 = 1k\Omega + 6k\Omega + 2.97k\Omega + 2k\Omega = 11.97k\Omega \) Using Ohm's law \( V = IR \), find the total current \( I \): \( I = \frac{V}{R_{T}} = \frac{6V}{11.97k\Omega} \approx 0.501mA \) Current \( I \) flows through \( R1 \), \( R2 \), \( R_{3456} \), and \( R7 \), so \( I_{R1} = I_{R2} = I_{R7} = 0.501mA \). The voltage across \( R_{3456} \), \( V_{3456} \), is: \( V_{3456} = I_{R_{3456}} \times R_{3456} = 0.501mA \times 2.97k\Omega \approx 1.49V \) This voltage is the same across \( R3 \), \( R4 \), and \( R5 \) in parallel. Use Ohm's law to find the current through \( R3 \), \( I_{R3} \): \( I_{R3} = \frac{V_{3456}}{R3} = \frac{1.49V}{6k\Omega} \approx 0.248mA \approx 248\mu A \) Therefore, the currents through \( R1 \) (which is equivalent to \( I \)) and \( R3 \) are approximately \( 501\mu A \) and \( 248\mu A \) respectively.
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