Analyzing the Structure of Walls Built with Dice
Jemand hat aus Würfeln diese Mauern gebaut. Milan und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich.
Laut Milan: \(2 \cdot k + (k + 1)\)
Laut Kevin: \(3 \cdot k + 1\)
Wo \(k\) die Anzahl der sichtbaren Würfel in der oberen Reihe ist.
Wir müssen herausfinden, wer die richtige Beschreibung gegeben hat und die Formeln für die Gesamtzahl der Würfel in den Mauern bestimmen.
Wenn wir die Formeln von Milan und Kevin für \(k=1\) auswerten, erhalten wir:
Milan: \(2 \cdot 1 + (1 + 1) = 2 + 2 = 4\)
Kevin: \(3 \cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4\)
Für die Mauer der Figur A sieht man, dass sie aus 4 Würfeln besteht. Ohne Kenntnis über das Problem könnte man denken, dass beide Beschreibungen korrekt sind. Allerdings muss man die Formel für alle möglichen Werte von \(k\) prüfen, nicht nur für \(k=1\).
Für \(k=2\):
Milan: \(2 \cdot 2 + (2 + 1) = 4 + 3 = 7\)
Kevin: \(3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7\)
In Mauer B (mit \(k=2\)) erkennt man, dass die Anzahl der Würfel tatsächlich 7 ist. Einerseits passt auch hier beider Formeln, aber wir müssen die Struktur der Mauern untersuchen, um zu verstehen, wie die Anzahl der Würfel wächst.
Wenn wir die Struktur der Mauern betrachten, bemerken wir, dass für jede zusätzliche Schicht oben (mit \(k+1\) Würfeln), es darunter \(k\) Würfel gibt. Also, insgesamt gibt es \(k + k + (k+1) = 3k + 1\) Würfel in einer Mauer, wenn \(k\) die Anzahl der Würfel in der obersten Schicht ist.
Daraus können wir schließen:
a) Kevin hat die richtige Beschreibung mit \(3 \cdot k + 1\) gegeben.
b) Die allgemeine Formel für die Anzahl der Würfel in den Mauern in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfel \(k\) in der oberen Reihe ist von Kevin gegeben als \(3k + 1\), weil für jeden zusätzlichen Würfel oben eine vollständige weitere Schicht darunter benötigt wird. Daher entspricht die Gesamtzahl der Würfel immer dem Dreifachen der Anzahl der Würfel in der oberen Schicht plus einem zusätzlichen Würfel.
Meine Begründung ist, dass die Struktur jeder Mauer aus einer oberen Schicht und einer vollen darunter liegenden Schicht besteht, also \(k + k\) Würfel für die beiden Schichten, plus einem weiteren Würfel für die obere Schicht der nächsten Reihe, daher insgesamt \(3k + 1\) Würfel.
