Analysis of Parabolic Functions
Para la función \( y = 2x^2 - 8x + 4 \):
<p>Eje de simetría: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{4} = 2 \)</p>
<p>Vértice: Sustituir \( x = 2 \) en la ecuación para obtener \( y \). Entonces \( y = 2(2)^2 - 8(2) + 4 = 8 - 16 + 4 = -4 \). Entonces el vértice es \( (2, -4) \).</p>
<p>Intercepto y: Cuando \( x = 0 \), \( y = 4 \).</p>
<p>Ceros: Factorizar o usar la fórmula cuadrática si es necesario. \( 2x^2 - 8x + 4 = 0 \). Utilizando factorización: \( 2(x^2 - 4x + 2) = 0 \). Esta ecuación no se factoriza con números enteros, por lo tanto, se aplica la fórmula cuadrática: \( x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2-4(2)(4)}}{2(2)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{4} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{4} = 2 \pm \sqrt{2} \).</p>
<p>Dominio: Todos los valores reales de \( x \).</p>
<p>Recorrido: Dado que \( a > 0 \), la parábola se abre hacia arriba y el recorrido es \( y \geq -4 \).</p>
Para la función \( y = -2x^2 - 4 \):
<p>Eje de simetría: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{0}{-4} = 0 \).</p>
<p>Vértice: Sustituir \( x = 0 \) en la ecuación para obtener \( y \). Entonces \( y = -2(0)^2 - 4 = -4 \). Entonces el vértice es \( (0, -4) \).</p>
<p>Intercepto y: Cuando \( x = 0 \), \( y = -4 \).</p>
<p>Ceros: Factorizar o usar la fórmula cuadrática si es necesario. \( -2x^2 - 4 = 0 \). Factorizar: \( -2(x^2 + 2) = 0 \). Esta ecuación no tiene soluciones reales porque la suma de un cuadrado y un número positivo nunca puede ser cero, así que no hay ceros.</p>
<p>Dominio: Todos los valores reales de \( x \).</p>
<p>Recorrido: Dado que \( a < 0 \), la parábola se abre hacia abajo y el recorrido es \( y \leq -4 \).</p>
