Geometrical Problem Solving with Triangle ABC
Từ dữ liệu trong bức ảnh, chúng ta có bài toán sau:
"Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 54°.
a) Tính tỉ số các cạnh của tam giác ABC.
b) Vẽ đường trung trực d của cạnh BC, đường trung trực d của BC cắt BC tại D và cắt AB tại E. Chứng minh tam giác ADE cân.
c) Gọi I là giao điểm của AE và BD. Chứng minh: OI là trung trực của cạnh AC trong tam giác ABC và AD = 2OE."
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
a) Để tính tỉ số các cạnh của tam giác ABC, chúng ta sử dụng hàm lượng giác trong tam giác vuông. Vì tam giác ABC vuông tại A và góc B = 54°, góc C sẽ là 90° - 54° = 36°. Khi đó:
- Tỉ số cạnh BC/AC (tức là hypotenuse/opposite) chính là csc(C) = 1/sin(C).
- Tỉ số cạnh AB/AC (tức là adjacent/opposite) chính là cot(C) = cos(C)/sin(C).
- Tỉ số cạnh AB/BC (tức là adjacent/hypotenuse) chính là cos(C).
b) Để chứng minh tam giác ADE cân, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh bên của tam giác đó bằng nhau. Tam giác ABE và DCE là các tam giác vuông cân tại E vì E nằm trên đường trung trực của BC, do đó AE = DE. Từ đó suy ra tam giác ADE cân tại A.
c) Gọi O là trung điểm của BC. I là giao điểm của AE và BD. Ta có tứ giác BIDC là hình thang (vì BD và CI là hai đường trung trực, ID là cạnh bên chung). Do đó, đoạn OI cũng phải là đường trung bình của hình thang, và nó sẽ song song và bằng một nửa đoạn BC. Như vậy, OI cũng cắt AC tại trung điểm của AC và là đường trung trực của AC. Từ tính chất của đường trung trực, ta có OD = OE (vì O là trung điểm của BC), và O là trung điểm của DE, do đó AD = 2OE.
