Example Question - general solution
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Second Order Differential Equation with Nonhomogeneous Part
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и неоднородной правой частью. Уравнение имеет вид: y'' - y' - 6y = 12sin(2x) - 8cos(2x) Чтобы решить его, сначала найдем общее решение однородного уравнения: y'' - y' - 6y = 0 Это делается путем нахождения корней характеристического уравнения: r^2 - r - 6 = 0 Дискриминант (D) этого квадратного уравнения равен: D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 Это значит, что уравнение имеет два действительных корня: r1 = (1 + √25)/2 = (1 + 5)/2 = 3 r2 = (1 - √25)/2 = (1 - 5)/2 = -2 Таким образом, общее решение однородного уравнения выглядит так: y_hom = C1e^(3x) + C2e^(-2x), где C1 и C2 — произвольные константы. Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Так как правая часть содержит синус и косинус с одинаковыми аргументами, для поиска частного решения необходимо использовать метод вариации параметров или метод неопределенных коэффициентов. Мы будем использовать метод неопределенных коэффициентов. Подберем решение в виде: y_part = A*cos(2x) + B*sin(2x) где A и B коэффициенты, которые нужно определить. Найдем производные этого решения: y_part' = -2A*sin(2x) + 2B*cos(2x) y_part'' = -4A*cos(2x) - 4B*sin(2x) Подставим y_part, y_part' и y_part'' в неоднородное уравнение: (-4A*cos(2x) - 4B*sin(2x)) - (-2A*sin(2x) + 2B*cos(2x)) - 6(A*cos(2x) + B*sin(2x)) = 12sin(2x) - 8cos(2x) Преобразуем это уравнение и соберем коэффициенты при cos(2x) и sin(2x): (-4A - 6A)cos(2x) + (-4B - 2B - 6B)sin(2x) = -8cos(2x) + 12sin(2x) Получаем систему уравнений: -10A = -8 => A = 8/10 = 4/5 -12B = 12 => B = -1 Таким образом, частное решение неоднородного уравнения: y_part = (4/5)*cos(2x) - sin(2x) Итоговое решение дифференциального уравнения — это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: y = y_hom + y_part = C1e^(3x) + C2e^(-2x) + (4/5)*cos(2x) - sin(2x) Здесь C1 и C2 — константы, которые определяются из начальных условий задачи, если таковые имеются.
Solving Linear Homogeneous Differential Equations
Уравнение имеет вид линейного однородного дифференциального уравнения со стандартным решением через характеристическое уравнение. Чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка, нам нужно сначала составить характеристическое уравнение. Данный вид уравнения соответствует общей форме: \[ y'' - ay' + by = 0 \] где \(a = 8\) и \(b = 16\). Подставляем значения \(a\) и \(b\) в характеристическое уравнение: \[ r^2 - ar + b = 0 \] \[ r^2 - 8r + 16 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ r^2 - 8r + 16 = (r - 4)^2 = 0 \] Отсюда следует, что мы имеем двукратный корень \(r = 4\). Когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, общее решение дифференциального уравнения формируется следующим образом: \[ y = (C_1 + C_2x)e^{rx} \] где \(C_1\) и \(C_2\) - константы интегрирования, которые определяются из начальных условий задачи, если таковые имеются. Исходя из нашего кратного корня, общее решение данного уравнения будет: \[ y = (C_1 + C_2x)e^{4x} \] Это и есть искомое общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Finding Differential Equation for General Solution
The image contains a handwritten request to find the differential equation associated with the general solution `y = Be^{(αx + β)}`, where α, β, and B are constants. To find the differential equation, we need to eliminate the constants α, β, and B from the given general solution. Given: \[ y = Be^{(αx + β)} \] Step 1: Differentiate both sides with respect to x. \[ \frac{dy}{dx} = Be^{(αx + β)} \cdot α \] Step 2: We need a second derivative since there are two independent constants (α and β), so differentiate once more with respect to x. \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( Be^{(αx + β)} \cdot α \right) = Be^{(αx + β)} \cdot α^2 \] Step 3: Now, we need to eliminate B from these equations. From the first derivative, isolate B: \[ B = \frac{1}{α} \frac{dy}{dx} \cdot e^{-(αx + β)} \] Step 4: Substituting B from the equation obtained from the first derivative into the second derivative, we get: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{α} \frac{dy}{dx} \cdot e^{-(αx + β)} \cdot α^2 \cdot e^{(αx + β)} \] Step 5: Cancel out the exponential terms \( e^{-(αx + β)} \cdot e^{(αx + β)} \) which is equal to 1. This gives us: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = α \frac{dy}{dx} \] Step 6: We still need to eliminate α and β. Since β does not directly appear in the derived differential equation, we're left with only eliminating α. To eliminate α, we observe that our first derivative is: \[ \frac{dy}{dx} = α y \] Step 7: Divide the second derivative by y: \[ \frac{1}{y} \frac{d^2y}{dx^2} = α^2 \] Step 8: From the relation in Step 6 where we have \( \frac{dy}{dx} = α y \), we can write α as: \[ α = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \] Step 9: Substituting this value of α back into the Step 7 equation: \[ \frac{1}{y} \frac{d^2y}{dx^2} = \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right)^2 \] Step 10: This is the desired second-order homogeneous differential equation with constant coefficients, and it is free from the constants α, β, and B: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 / y \] Or equivalently, \[ y \frac{d^2y}{dx^2} - \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0 \] This is the differential equation associated with the given general solution.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com