Example Question - formulas analysis
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analyzing Formulas for Counting Dice in Wall Structures
Um die Frage zu lösen, betrachten wir zunächst, was Milena und Kevin gesagt haben. Milena sagt: \( n = 2 \times (k + 1) \) - wobei \( n \) die Anzahl der Würfel und \( k \) die Anzahl der sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene ist. Kevin sagt: \( n = 3 \times k + 1 \) Wir können diese Formeln verwenden, um zu überprüfen, ob beide oder einer von ihnen immer die richtige Anzahl von Würfeln liefert. A. Wer hat wie überlegt? Wir betrachten die Struktur: 1. Für die Mauer A (mit einer sichtbaren Ebene von 3 Würfeln): Milena würde rechnen: \( n = 2 \times (3 + 1) = 2 \times 4 = 8 \) Kevin würde rechnen: \( n = 3 \times 3 + 1 = 9 + 1 = 10 \) Wir können sehen, dass Milenas Formel für Mauer A nicht funktioniert, da tatsächlich 9 Würfel vorhanden sind. Kevins Formel funktioniert hier korrekt. 2. Für die Mauer B (mit einer sichtbaren Ebene von 4 Würfeln): Milena würde rechnen: \( n = 2 \times (4 + 1) = 2 \times 5 = 10 \) Kevin würde rechnen: \( n = 3 \times 4 + 1 = 12 + 1 = 13 \) Auch hier können wir sehen, dass nur Kevins Formel die richtige Anzahl von Würfeln für Mauer B liefert, welche 13 sind. B. Liefern beide Formeln für beliebige Mauern die richtige Anzahl Würfel? Nein, nur Kevins Formel liefert für jede beliebige Mauer die richtige Anzahl an Würfeln. Das liegt daran, dass jede Mauer ein zusätzlicher Würfel unter jedem sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene und ein weiterer Würfel am Ende hinzugefügt wird. Deshalb multipliziert Kevins Formel die Anzahl der Würfel auf der obersten Ebene mit 3 und addiert dann 1, um diesen zusätzlichen Würfel am Ende zu berücksichtigen. Um zu begründen, warum Kevins Formel für beliebige Mauern funktioniert, können wir feststellen, dass jede Mauer aus Dreiergruppen von Würfeln besteht, wobei jeder sichtbare Würfel auf der obersten Ebene zwei unsichtbare Würfel unter sich hat. Zu diesen Gruppen von drei kommt noch ein Würfel hinzu, der sich am Ende der Mauer befindet. Deshalb wird die Anzahl der sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene mit 3 multipliziert und dann um 1 erhöht.
Analysis of Formulas for Counting Dice in Wall Structures
In der Aufgabe haben Milena und Kevin Formeln aufgestellt, um die Anzahl der Würfel für diese Mauern zu beschreiben. Milenas Formel lautet \(2 \cdot n + 4\), während Kevins Formel \(3 \cdot n + 1\) lautet. Die Frage ist, ob beide Formeln die richtige Anzahl von Würfeln für beliebige lange Mauern liefern, und du sollst deine Antwort begründen. Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Formeln für ein paar Werte von \(n\), das die Anzahl der Segmente (die Gruppen von 3 Würfeln nebeneinander) darstellt: Für \(n=1\) (das erste Segment): - Milenas Formel gibt \(2\cdot1+4 = 2+4 = 6\) Würfel. - Kevins Formel gibt \(3\cdot1+1 = 3+1 = 4\) Würfel. In diesem Fall liefert nur Milenas Formel die richtige Anzahl der Würfel, da jeder Segment aus 3 Würfeln und einem Würfel oben besteht, was insgesamt 4 Würfel ergibt. Für \(n=2\) (die erste zwei Segmente): - Milenas Formel gibt \(2\cdot2+4 = 4+4 = 8\) Würfel. - Kevins Formel gibt \(3\cdot2+1 = 6+1 = 7\) Würfel. Auch hier liefert Milenas Formel nicht die korrekte Anzahl der Würfel. Kevin's Formel ist korrekt, da 2 Segmente aus 6 Würfeln und einem Würfel oben bestehen, was insgesamt 7 Würfel ergibt. Aus diesen Überlegungen können wir schlussfolgern, dass beide Formeln nicht für beliebige Mauern korrekt sind. Kevins Formel ist jedoch für Mauern mit zwei oder mehr Segmenten korrekt, da sie die dreifache Anzahl der Segmente plus einen zusätzlichen Würfel für das oberste Element berücksichtigt. Milenas Formel hingegen scheint auf einem falschen Verständnis der Mauerstruktur zu beruhen, da sie mit jedem weiteren Segment um 2 Würfel erhöht anstatt 3, was nicht der tatsächlichen Struktur entspricht.
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