Example Question - first-order partial derivative

Partial Derivatives of the Function

题目要求我们计算函数 \( z = x\ln(y) \) 的混合偏导数 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} \) 和 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2} \)。 首先，我们需要找到 \( z \) 关于 \( x \) 和 \( y \) 的一阶偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \ln(y) \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{y} \] 然后，我们对第一个偏导数 \( \frac{\partial z}{\partial x} \) 分别对 \( x \) 和 \( y \) 求导： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\ln(y)) = \frac{1}{y} \] 因为 \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0 \)， 所以 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} = 0 \)。 再对 \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{y} \) 关于 \( y \) 求导： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{x}{y}\right) = -\frac{x}{y^2} \] 然后对这个结果关于 \( x \) 求导： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{1}{y^2} \] 所以， \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} : \frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2} = 0 : -\frac{1}{y^2} \] 既然 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y} = 0 \)，这个比值就是未定义的，因为我们不能除以零。所以最后的结果是未定义的。